Link:     Back     Contents     Next

9.2. New four-dimensional particle dynamics

             In the inertial reference frames А and B, which we have introduced into consideration in section 3, any event can be charactarised by four-dimensional radius-vectors

(9.33)

(9.34)

where

at that this any event happens to a body, which is at rest in the inertial reference frame B. Indication of a chronometer, which is at rest in the origin of the inertial reference frame B, coincides with indication of any chronometer, which is at rest in the inertial reference frame A, if all chronometers being at rest in the inertial reference frame A are synchronised with each other using Einstein's method by means of a light source, which is at rest in the inertial reference frame A, and if at the moment of coincidence of the origins of the two inertial reference frames A and B the chronometers, which are at rest  in the origins of each reference frame A and B had zero indications. In order to be sure substitute x' = 0 into the first equation of transformation (6.10). You will have

t  = t '..(9.35)

Then in the vicinity of the point x' = 0 (i. e. near the origin of the inertial reference frame B) we can introduce into consideration vectors of four-dimensional velocity as invariant time derivatives from four-dimensional vectors (9.33) and (9.34)

, .(9.36)

, (9.37)

              From expressions (9.36) and (9.37) it follows, that the first three components of the four-dimensional velocity in the new space-time theory  are components of ordinary three-dimensional velocity. The fourth component of 4-dimensional velocity in the new space-time theory is equal to the light speed in the appropriate inertial reference frame multiplied by imagionary unit

.(9.38)

Введем теперь в рассмотрение 4-импульс как произведение массы покоя на вектор 4-скорости (по аналогии с трехмерным импульсом)

.(9.39)

где

..(9.40)

.(9.41)

Из формул (9.41) и (9.25) следует, что

..(9.42)

Второй закон Ньютона в нерелятивистской механике записывается в виде

       или        .(9.43)

где - 3-векторы обычной скорости и обычного импульса нерелятивистской механики Ньютона; - трехмерный вектор обычной силы.

              По аналогии с выражением (9.43) можно предположить, что и четырехмерное уравнение движения имеет вид

, .(9.44)

где - 4-вектор энергии-импульса новой теории пространства-времени; - 4-вектор силы новой теории пространства-времени,  составляющие которого нам следует определить.

Для первых трех составляющих 4-вектора силы из уравнений (9.44) и (9.40) получим

(9.45)

Четвертую же составляющую 4-вектора силы новой теории пространства-времени определим по методике, изложенной на стр. 137 в [ [53]. Угаров В. А. Специальная теория относительности. - М.: Наука, 1977. - с. 70.].

Как уже было установлено

Дифференцируя это равенство по времени t, получим

.(9.46)

Но из равенств (9.45) и (9.40) следует, что

.(9.47)

Подставляя выражения (9.47) в равенство (9.46), получим

.(9.48)

Из выражения (9.48) получим выражение для четвертой составляющей 4-вектора силы в новой теории пространства-времени

,..(9.49)

где    - 3-векторы силы и скорости нерелятивистской механики. Из выражений (9.49), (9.44) и (9.41) следует

.(9.50)

причем выражение (9.50) с учетом формулы (7.12) превращается в известное выражение из СТО

.(9.51)

С учетом формулы (9.42) выражение (9.50) можно записать в виде

.(9.52)

С учетом формулы (7.12) выражение (9.52) из новой теории пространства-времени превращается в известное выражение СТО

. (9.53)

Преобразования (6.10) с учетом обозначений, принятых в выражениях (9.33) и (9.34), можно переписать в виде

.(9.54)

Преобразования (9.54) - это преобразования составляющих 4-радиус-вектора. А 4-радиус-вектор - это такой же 4-вектор как и все остальные. Поэтому если в инерциальной системе отсчета B задан 4-вектор то в инерциальной системе отсчета А составляющие этого 4-вектора определяются по формулам

. .(9.55)

Пусть, например, в системе отсчета B заданы составляющие 4-скорости , а система отсчета B движется со скоростью u в положительном направлении оси Х системы отсчета А. Тогда согласно формулам преобразования 4-векторов (9.55) получим

т. е.

..(9.56)

Из уравнений (9.56) находим

..(9.57)

.(9.58)

..(9.59)

где

Если    то из выражения (9.57) получим. формулу (7.31) - частный случай закона сложения скоростей при движении в одном и том же направлении.

Link:     Back     Contents     Next