СТАТЬИ И ПУБЛИКАЦИИ

Вход или Регистрация

ПОМОЩЬ В ПАТЕНТОВАНИИ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФОРУМ Научно-техническая библиотекаНаучно-техническая библиотека SciTecLibrary
 
Cтатьи и Публикации АСПЕКТНЫЙ ПРИНЦИП В МАТЕМАТИКЕ.

 

АСПЕКТНЫЙ ПРИНЦИП В МАТЕМАТИКЕ.

© Виктор П. НОВИКОВ

Контакт с автором: vpn.spb@gmail.com

 

1.Введение

Использование различных аспектов изучения объектов традиционно применяется в самых различных науках. Например, систематика одних и тех же биологических объектов может быть основана как на морфологических, так и на генетических признаках, то есть используется аспектный подход в вопросах классификации. Другой пример из физики - одна и та же элементарная частица может рассматриваться или как волна, или как корпускула. В этом случае применяются различные математические инструменты для исследования объектов в рамках одного класса. Таким образом, аспектный принцип – AP (Aspectual Principle) может заключаться или в построении новой классификации, или в изменении подходов в рамках одного класса объектов. Иначе говоря, возможно два варианта использования аспектного принципа.

Первый вариант основан на расширении старой классификации объекта. То есть происходит нечто виде изменения взгляда на проблему со стороны (извне). Поэтому такой вариант можно назвать внешним аспектным принципом, то есть e-AP (external-AP). При втором варианте изменяются подходы к решению задачи внутри неизменного класса объектов исследования. Сама классификация не меняется (не расширяется), однако меняется сам подход к данному классу в целом, происходит трансформация инструментальных методов, иначе говоря, изменение взгляда на проблему внутри самой системы. Такой вариант аспектного принципа можно назвать внутренним, то есть i-AP(internal-AP).

Следует отметить, что в ходе исторического развития математики огромную роль сыграли оба вида АР.

Каждый раз, когда в математике назревал очередной внутренний кризис, именно использование аспектного принципа позволяло его успешно преодолеть противоречия. Так, например, под влиянием e-AP происходило расширение классификации чисел и в арсенал математики вошли дроби, иррациональные и комплексные числа. А применение i-AP позволило по-новому взглянуть на сами объекты исследования, то есть использовать новые инструментальные методы. Так возникли новые виды математики - алгебра, геометрия, математическая логика . . .

Таким образом, исторически e-AP и i-AP принесли революционные изменения в математике. Каждый раз их применение решало глобальные проблемы развития математики и открывало новые математические горизонты. Однако, и в настоящее время e-AP и i-AP не потеряли своей актуальности и часто могут способствовать решению современных сложных математических вопросов. Рассмотрим в качестве примера применения аспектного принципа интересную задачу под названием закона Бенфорда.

2.Задача неравномерного распределения первых цифр

В 1938 году американский физик Ф.Бенфорд открыл “закон аномальных чисел”. Он проанализировал около 20 тысяч чисел содержащихся в таблицах, среди которых были данные о площади поверхности 335 рек, удельной теплоёмкости и молекулярном весе тысяч химически соединений и даже номера домов первых 342 лиц, указанных в биографическом справочнике американских ученых. В результате этой огромной работы он установил удивительную закономерность. Оказалось, что вероятность появления в качестве первой цифры “1” более чем в шесть раз больше чем “9”. Вероятность появления любых других цифры находилась между этими крайними значениями.

Таблица 1. Статистические данные Бенфорда

 

Первая цифра числа

Вероятность появления первой цифры

1

0,306

2

0,185

3

0,124

4

0,094

5

0,080

6

0,064

7

0,051

8

0,049

9

0,047

Всего

1,000

 

 

С тех пор прошло более 70 лет и найдены подтверждения этого закона для огромного количества различных совокупностей чисел. Например, этому закону распределения подчиняются первые цифры населения и стран мира и просто многие числовые последовательности. Так, в представленной ниже последовательности первых цифр степеней двойки единицы также составляют примерно 30%.

1,2,4,8,1,3,6,1,2,5,1,2,4… (1) последовательность первых цифр степеней двойки

При этом вероятность появления в качестве первой цифры любого однозначного числа, как видно из приведённой выше таблицы 1, вполне коррелирует с позицией этих чисел в первом десятке натурального ряда – 1,2,3,4,5,6.7,8,9 . Поэтому интересно рассмотреть эту ситуацию в других позиционных системах счисления. Для большей наглядности возьмём предельные случаи.

Для простейшей двоичной позиционной системы счисления последовательность первых цифр степеней двойки выглядит, естественно, как простая бесконечная последовательность единиц –

1,1,1,1,1,1,1…. (2) последовательность первых цифр степеней двойки в двоичной системе

Таким образом, вероятность появления единицы в качестве первой цифры в этой системе счисления равна 100%.

Альтернативный предельный вариант системы счисления состоит из бесконечного натурального ряда чисел, в котором каждому числу соответствует своя уникальная неповторимая цифра. Это, конечно, гипотетическая непозиционная система, которой нет аналогов в истории математики. Её можно считать безразрядной непозиционной системой или вырожденным вариантом позиционной системы, в которой имеется только один бесконечный разряд представленный натуральным рядом. Например, так может выглядеть этот натуральный ряд:

1,2,3,4,5,6,7,8,9, a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z ….¥ (3)

В такой системе счисления любое число последовательности степеней двойки (1) представлено новой уникальной цифрой и, следовательно, вероятность появления этой цифры стремится в пределе к нулю. Разумеется, это касается и вероятности появления единицы – она появляется только один раз (20=1) и также как остальные цифры стремится в пределе к нулю.

Следует отметить, что десятеричная система в этом отношении является промежуточным вариантом. Другие системы счисления также вполне укладываются в эту последовательность. Как показано в таблице 2, вероятность появления единицы в качестве первой цифры степеней двойки (1) плавно снижается в разных системах счисления. Так, в троичной системе счисления вероятность появления единицы в качестве первой цифры равна примерно 70%, а, например, в двенадцатеричной - около 20%.

Таблица 2. Вероятность появления единицы в качестве первой цифры в последовательности степеней двойки в разных системах счисления

     

     

    Основание системы счисления

    Вероятность появления “1” в качестве первой цифры чисел последовательности степеней двойки

    2

    1,00

    3

    0,70

    4

    0,65

    5

    0,62

    6

    0,55

    7

    0,50

    8

    0,44

    9

    0,38

    10

    0,31

    11

    0,25

    12

    0,20

    ¥

    0,00

Таким образом, использование аспектного принципа позволяет объяснить появление закономерности под названием “закона неравномерного распределения первых цифр”. Использование, в рамках натуральных чисел, других систем счисления выявило новые закономерности и позволяет сделать вывод, о том, что закон Бенфорда обусловлен не какими-то внутренними свойствами натурального ряда чисел, а исключительно произвольным выбором системы счисления. С такой же вероятностью в современной математике могли бы применяться, допустим, не десятичная, а, скажем, троичная, двенадцатеричная или даже шестидесятеричная системы счисления. И тогда закон распределения первых цифр Бенфорда выглядел бы в каждом случае совсем иначе. Хотя нужно отметить, что при любой системе счисления распределение вероятностей первых цифр зависит той или иной мере от их позиции в первом разряде натурального ряда. Применение в данном примере i-AP дало возможность взглянуть на эту задачу под совершенно новым углам зрения. Или можно выразиться по-другому – применение i-AP аналогично мысленному переносу объекта исследования в другой класс или создание параллельной ячейки классификации.

Однако, в более сложных случаях простой перенос объекта в соседнюю параллельную ячейку не даёт эффекта. Требуется применение более сильного и радикального варианта аспектного принципа - e-AP. То есть необходимо взглянуть на проблему со стороны, иначе говоря, выйти за рамки исходной классификации на более высокий обобщённый уровень, или, в крайнем случае, создать новую классификацию, куда объект исследования будет входить как некий частный случай. В качестве примера применения e-AP можно рассмотреть широко известный парадокс Рассела.

3.Парадокс Рассела

Решение этой антиномия в полной мере демонстрирует всю красоту и изящество применения e-AP, поскольку представляет собой сочетание наглядности с неизбежностью. Сам парадокс имеет длинную предысторию, подробности которой широко представлены в различных публикациях. Б. Рассел в самом начале ХХ столетия в письме к Фреге обратил внимание на некорректность использования понятия "класс всех классов" в теории множеств, лежащей в фундаменте арифметики. Антиномия Рассела формулируется следующим образом:

"Пусть K - множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K - противоречие. Если нет - то, по определению K, оно должно быть элементом K - вновь противоречие".

Рассел иллюстрирует этот парадокс примером, который он назвал "парадокс парикмахера". Однажды парикмахер одного небольшого городка объявил, что бреет всех, кто не бреется сам. При этом он хвастался, что в парикмахерском деле ему нет равных, но однажды задумался, а должен ли он брить сам себя. С одной стороны, он не должен этого делать, поскольку бреет только других. Но, если он не будет брить себя, то попадет в число тех, кто себя не бреет и, следовательно, получает возможность брить сам себя.

Пытаясь понять причину парадокса, Б. Рассел и английский математик А. Уайтхед в совместной книге "Principia mathematica" (1910-1913), пишут: "Анализ парадоксов показывает, что все они имеют источником порочный круг. Этот порочный круг возникает из принятия того, что множество предметов способно содержать элемент, который может быть определен только посредством множества как целого". Тогда возвращаясь к примеру о парикмахере, можно сказать что непротиворечивым могут быть только два утверждения по отдельности, а не одно общее. Или данный парикмахер может брить всех клиентов, кроме себя, или он сам с остальными жителями является объектом для бритья другим парикмахером. То есть невозможно объединить в один класс оба множества. Собственно говоря, с позиций аспектного принципа, в этом и состоит единственно правильное решение парадокса - создание вместо одного класса двух. Могут непротиворечиво существовать только отдельно класс клиентов и класс практикующих парикмахеров, которые в одном классе могут быть клиентами, а в другом парикмахерами.

Таким образом, расширение классификации с помощью e-AP, вполне решает задачу путём создания нового более обобщённого варианта классификации, в которой объект изучения входит как частный случай. Противоречие исчезает просто по определению, так как было создано искусственно (в рамках исходной классификации) и искусственно же (в новой классификации) разрешилось.

По-видимому, в большинстве случаев, когда налицо неустранимое противоречие, можно и нужно применять e-AP. Большинство, если не все, противоречий в математике вызваны как раз неудачной или просто неподходящей классификацией и тогда единственный выход создавать новую. Разумеется, необходимо этим пользоваться осторожно и “не плодить сущности сверх меры”! Однако, не стоит и придерживаться той точки зрения, что вся математическая классификация предвосхищена и ниспослана нам древнеегипетским богом Тотом и поэтому дескать священна по определению. Ведь даже если с этим согласиться, то не понятно где кончаются послания Тота и начинаются измышления наших современников. Кроме того, вряд ли можно поверить в то, что может вообще существовать единая неизменная окончательная классификация математики годная на все случаи жизни. Эти сомнения мог бы разрешить только лишь сам бог Тот, творивший во времена могущественных фараонов.

4.Заключение. Аспектный принцип в гносеологии (эпистемологии)

Изложенное выше позволяет сделать вывод, что аспектный принцип в математике не потерял значение и в наши дни. Его применение даёт возможность решать задачи, которые требуют или расширения классификации в сторону обобщения (e-AP), или трансформирования математического инструментария в рамках параллельного класса (i-AP). При этом следует отметить, что использование аспектного принципа позволяет по-новому взглянуть и оценить роль математики в едином здании науки, да и всего процесса познания. Практически в большинстве случаев к решению математических задач можно применить i-AP. Кстати, поскольку объект исследования при этом остаётся неизменным, эту процедуру можно назвать операцией аспектной симметрии.

Простой пример – это понятие действительного числа. Как писал по этому поводу Г.Вейль: “Система действительных чисел подобна двуликому Янусу: с одной стороны – это совокупность алгебраических операций “+” и “-” и им обратных, с другой – континуальное многообразие, части которого связаны друг с другом непрерывно. Первый лик чисел - алгебраический, второй – топологический”. Следует также отметить, что один и тот же объект изучения может рассматриваться биологией, химией, физикой и математикой. Следовательно, в гносеологии и в этом случае действует i-AP.

Однако, можно познавать материальный мир не только с помощью приборов, но и, например, используя для познания объекта литературу, поэзию, музыку. В этом случае с помощью e-AP происходит выход за рамки привычной научной парадигмы. Можно провести даже некие параллели между наукой и искусством. Например, биологию (или геологию) можно соотнести с документалистикой, физику с романистикой, а математику с фантастикой. Последнее из сравнений особенно интересно, поскольку в обоих случаях специалисты строят абстрактные, часто малоправдоподобные, конструкции. Таким образом, аспектный принцип является исключительно мощным средством в познании окружающей нас действительности.

Дата публикации: 31 мая 2009
Источник: SciTecLibrary.ru

Вы можете оставить свой комментарий по этой статье или прочитать мнения других в следующих разделах ФОРУМА:
Свернуть Защита интеллектуальной собственности и авторских прав
Диспуты по темам изобретательства. Вопросы по изобретениям, проблемы на пути изобретателей и методы их решения.
Патентование. Все о патентовании изобретений, полезных моделей, промышленных образцов и товарных знаков.
Нерешенные задачи. Здесь идет обсуждение нерешенных задач: безопорный двигатель, вечный двигатель, преодоление гравитации и пр.
Свернуть Точные науки и дисциплины
Дебаты по Теории Относительности Эйнштейна. Все кому не лень хотят опровергнуть Теорию Относительности Эйнштейна. Вам предоставляется слово для аргументации.
Физика, астрономия, математические решения. Физико-математические вопросы, наблюдения, исследования, теории и их решение.
Физика альтернативная. Новые взгляды на физические законы, теории, эксперименты, не вписывающиеся в общепринятые законы физики.
Teхника, узлы, механизмы, электроника и аппаратура. Все про технику, приборы, детали, узлы и механизмы. Электроника, компьютеры, программное обеспечение. Новые технические решения в самых разных областях.
Биология, Генетика, Все о жизни. Генетика и другие вопросы биологии. Их развитие. Медицина. Биотехнологии, агротехника и сельское хозяйство. Эволюционные теории и альтернативные им.
Химия. Вопросы по химическим технологиям, разработкам и применению химических материалов. Химические элементы и их свойства.
Геология, все о Земле и ее обитателях. Геология, метеорология, антропология, сейсмология, атмосферные явления и непознанные эффекты природы.
Свернуть Мозговой штурм
Генератор решений. Здесь Вы можете заработать реальные деньги, помогая решать фирмам, предприятиям и частным лицам те или иные технические задачи, которые перед ними стоят. Те, кто ставят задачи перед участниками должны обозначить гонорар за ее решение и перевести указанную сумму на общий счет генератора.
Головоломки. Если у Вас есть желание поломать голову над интересными логическими задачами - Вам сюда.
Гипотезы. В этой теме идет обсуждение гипотез и предположений, основанных чисто на теории и логике.
Найди ляп! Этот раздел для тех, кто хочет мысленно расслабиться. Он посвящен задачам по поискам ляпов, которые встречаются в литературе, интернете, кино и на телевидении.
Свернуть Взгляд в будущее и настоящее
Глобальные темы. Вопросы касающиеся всех. Глобальные угрозы и злободневные темы современности.
Наука и ее развитие. Все о развитии науки, направлениях и перспективах движения научной мысли и знаний.
Новая Цивилизация. Принципы социального устройства новой цивилизации. Увеличение роли созидательного интеллекта... Отдалённые перспективы развития человечества...
Вопросы без ответов. Этот раздел посвящен вопросам и проблемам, которые до сих пор не решены. Предлагайте свои решения.
Военная стратегия и тактика современных боевых действий. Об особенностях современного военного искусства. Проблемные вопросы теории и практики подготовки вооруженных сил к войне, её планирование и ведение в различных конфликтах на планете.
Свернуть Гуманитарные науки и дисциплины
Философские дискуссии. Диспуты по вопросам жизни, сознания, бытия и иных философских понятий.
Экономика. Вопросы по экономике и о путях развития России и других стран.
Социология, Политология, Психология. В этом разделе обсуждаются вопросы, как отдельных частных исследований данных наук, так и проблема соотношения этих наук с остальными.
Образование. Все об образовании: как учить, кому учить, чему учить и кого учить.
Религия и атеизм. Вопросы религий и атеистические взгляды, религиозные споры.

Хотите разместить свою статью или публикацию, чтобы ее читали все?
Как это сделать - узнайте здесь.

Назад

 
О проекте Контакты Архив старого сайта

Copyright © SciTecLibrary © 2000-2017

Агентство научно-технической информации Научно-техническая библиотека SciTecLibrary. Свид. ФС77-20137 от 23.11.2004.