СТАТЬИ И ПУБЛИКАЦИИ

Вход или Регистрация

ПОМОЩЬ В ПАТЕНТОВАНИИ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФОРУМ Научно-техническая библиотекаНаучно-техническая библиотека SciTecLibrary
 
Cтатьи и Публикации    Теоретическая физика КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОЕ СТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА

 

КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОЕ СТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА

 

© Литвинов Сергей Вячеславович

Контакт с автором: s_litvinov@mail.ru

 

 

В статье предложено преобразование канонического стационарного уравнения Шрёдингера, приводящее его к квазирелятивистскому виду. Рассмотрены решения этого уравнения для модели потенциальной ямы и туннельного эффекта. Проведено сравнение с классическим результатом

_____________________________________________________________________________

 Как известно, Э.Шрёдингер положил в основу волновой механики соотношения, полученные Л. де Бройлем с использованием релятивистских формул. Но само т.н. общее (временнόе) уравнение Шрёдингера было нерелятивистским:

 

,

m – “классическая” масса частицы, которой сопоставляется волна, U – потенциальная энергия, зависящая только от координаты и времени, - постоянная Дирака, - волновая функция. По Шрёдингеру последняя должна удовлетворять пяти критериям:

 

  1. Она должна быть совместима с соотношениями , где p – “классический” импульс частицы, h– постоянная Планка.
  2. Она должна быть линейной относительно решений уравнения Шрёдингера.
  3. Функция тоже должна быть линейной.
  4. Функция , как и её производная , должна быть однозначной, конечной и непрерывной.
  5. Если , то функция должна стремится к нулю:
.

 Однако с самого начала было ясно, что результат Шрёдингера является “классическим” приближением, и должен быть приведён в соответствие с релятивистской теорией. Одной из первых попыток стало уравнение, предложенное де Бройлем, а затем Клейном и Гордоном, неудовлетворительное с точки зрения вероятностной интерпретации волновой функции (пространственное распределение плотности вероятности обнаружение частицы в данной точке). В теории электрически заряжённых частиц Клейна она интерпретировалась через представление о пространственном распределении заряда. Против такой трактовки активно выступил П.А.М.Дирак [1; с.38-44, с.82-90, с.131-135], который в 1927 г. записал релятивистское волновое уравнение, совместимое с критериями Шрёдингера и с вероятностной физической интерпретацией . С этого момента принципиальная трудность релятивизации квантовой механики была успешно преодолена.

Мы остановимся на возможности формального получения квазирелятивитского (т.к. общего вида уравнения мы не рассматриваем) стационарного, или не зависящего от времени, уравнения Шрёдингера непосредственно из его “классического” варианта:

, (1)

, T – кинетическая энергия частицы.

Множитель 2m означает в физическом смысле отношение квадрата импульса к кинетической энергии, поскольку , откуда

. (2)

В релятивистском случае , а квадрат импульса можно выразить из соотношения , где E – полная энергия, - масса покоя частицы. Подстановка в (2) даёт:

,

, (4)

. (5)

Из (5) видно, что является “классическим” приближением при или, что тоже самое, . В противном случае (1) трансформируется в квазирелятивистское уравнение

, (6)

или . (7)

Но формула (4), написанная в Шрёдингеровском духе, делает несимметричными кинетическую и потенциальную энергии, потому что если рассматривать её как массу, то получается, что потенциальное поле не создаёт дефекта массы частицы. Если принять новую интерпретацию соотношения (4) как полной массы частицы, то релятивистское стационарное уравнение Шрёдингера может быть записано в виде:

. (8)

При условии малости U в сравнении с полной энергией E уравнение (8) приобретает вид канонического уравнения Шрёдингера с множителем при втором члене , а не :

. (9)

Формально (9) означает, что m в каноническом стационарном уравнении Шрёдингера берётся таким, что . В стандартных задачах квантовой механики, для которых выполняется , такая подстановка ничего не меняет, т.к. спектр собственных значений энергии E остаётся тем же, за исключением того, что наименьшая энергия частицы (n = 1) получается равной половине “нулевой” энергии в стандартных решениях. Это перекликается с выводами, которые можно получить из стандартной модели частицы как квантового гармонического осциллятора.

Но какое же из уравнений, (7) или (8) формально правильно? Рассмотрим классическую модель квантовой механики – потенциальную яму бесконечной глубины, например, внутри “ящика” c бесконечно твёрдыми, совершенно жёсткими стенками, от которых частица упруго отскакивает (Рисунок 1) [2; с.169-172].

 

 

 

Рисунок 1

Потенциальная энергия частицы должна удовлетворять граничным условиям:

при ,

при ,

при .

За пределы “ящика” частица выйти не может, что накладывает на волновую функцию следующие ограничения:

1. при ,

2. .

Поскольку точно неизвестно, где в конкретный момент находится частица внутри ящика, следует применять стационарное уравнение Шрёдингера, в котором величины не являются функциями от времени. Внутри потенциальной ямы , поэтому уравнение будет иметь вид:

, (10)

где для “классического” стационарного уравнения Шрёдингера;

для квазирелятивистского стационарного уравнения Шрёдингера (7) (КСУ Шрёдингера 1);

для для квазирелятивистского стационарного уравнения Шрёдингера (8) (КСУ Шрёдингера 2).

 

Уравнение (10) имеет решение:

, (11)

которое представляет собой суперпозицию двух волн в ящике, распространяющихся в противоположных направлениях вдоль оси x. Если соблюдены соответствующие граничные условия, то волновая функция может быть представлена в виде стоячих волн. Используя граничное условие при , находим, что . Следовательно, . С помощью формулы Эйлера эту функцию можно привести к виду:

. (12)

Второе граничное условие при даёт:

.

, значит , и , (13)

где

Подставляя для трёх различных форм стационарного уравнения Шрёдингера в (13) получим такие дискретные квантовые энергетические состояния системы “ящик-частица”:

1. в “классическом” случае. С учётом энергии покоя при ; (14)

2. для КСУ Шрёдингера 1; (15)

3. для КСУ Шрёдингера 2. (16)

Очевидно, что третий случай не имеет смысла для частиц, обладающих массой покоя, потому что для них , тогда . Т.е. масса покоя частицы зависит от характеристики “ящика”, его длины L, что абсурдно. Анализ и сравнение со случаем 2 показывает, что формула (16) соответствует значениям энергии квантов потенциального поля U(x). Формула (15) представляет собой релятивистское уточнение (14). Сопряжённые отрицательные и положительные значения энергий в формулах (15) и (16) свидетельствуют о том, что каждой частице соответствует античастица.

Существенные отличие (15) от (14) возникает в области пространственных масштабов порядка комптоновской длины волны частицы. Так, прозрачность прямоугольного потенциального барьера U толщиной d становится существенной, когда:

, (17)

T – кинетическая энергия частицы. Подставим в выражение (17) вместо множителя 2m соотношение (5) и получим:

, (18)

Положим , тогда на основании “классического” соотношения (17) можно заключить, что туннельный эффект становится значительным, когда . (19)

Из соотношения (18), решая квадратное уравнение относительно , можно получить “квазирелятивистскую”оценку :

. (20)

В последнем случае - это функция от высоты потенциального барьера U, в то время как в (19) от U не зависит. Отыскав производную функции (20) , можно найти экстремумы функции .

 

 

 

Рисунок 2

На трёх приведённых графиках изображена зависимость от U в единицах , . На первом графике ширина потенциального барьера принята равной комптоновской длине де бройлевской волны, соответствующей частице с массой покоя . На втором графике , на третьем . Поскольку кинетическая энергия частицы не может быть меньше 0, должно соблюдаться . Подстановка вместо выражения (20) и решение полученного неравенства относительно U приводит к условию , (21)

тогда .

Удовлетворяющие (21) значения U и расположены на графиках справа от прямой . На основании сравнения оценок минимальной потенциальной энергии частицы в туннельном эффекте по формуле (19) и (21) можно заключить, что различие между релятивистской моделью и “классическим” приближением в этом случае существенно:

.

 

 

Опуская преобразования, приведём результат. Максимальное значениедля туннельного эффекта:

 

,

минимальное:

. (22)

Формула (22) показывает, что высота барьера в туннельном эффекте имеет не только верхнюю, но и нижнюю границу, отличную от нуля. Это вызвано тем, что при “просачивании” сквозь барьер частица оказывается как бы в некоем подобии потенциального ящика с относительно упругими стенками, и поэтому не может иметь кинетическую энергию больше U (иначе не наступает туннельный эффект!). Данный вывод не получается из “классической” формулы (19). Кроме того, не содержит мнимого слагаемого, поэтому всегда должно выполняться , откуда:

. Т.е. “зазор” потенциального барьера должен быть больше комптоновской длины волны частицы, иначе он будет непроходимым.

 

  ЛИТЕРАТУРА:

  1. Дирак П.А.М. Воспоминания о необычайной эпохе: Сб. статей: Пер. с англ. / Под ред. Я.А.Смородинского. – М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1990. – 208 с.
  2. Основы современной физики / В.Акоста, К.Кован, Б.Грэм; Пер. с англ. В.В.Толмачёва, В.Ф.Трифонова; Под ред. А.Н.Матвеева. – М.:Просвещение, 1981.– 495 с.
  3. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1974. – 944 с.

 

Дата публикации: 21 сентября 2008
Источник: SciTecLibrary.ru

Вы можете оставить свой комментарий по этой статье или прочитать мнения других в следующих разделах ФОРУМА:
Свернуть Защита интеллектуальной собственности и авторских прав
Диспуты по темам изобретательства. Вопросы по изобретениям, проблемы на пути изобретателей и методы их решения.
Патентование. Все о патентовании изобретений, полезных моделей, промышленных образцов и товарных знаков.
Нерешенные задачи. Здесь идет обсуждение нерешенных задач: безопорный двигатель, вечный двигатель, преодоление гравитации и пр.
Свернуть Точные науки и дисциплины
Дебаты по Теории Относительности Эйнштейна. Все кому не лень хотят опровергнуть Теорию Относительности Эйнштейна. Вам предоставляется слово для аргументации.
Физика, астрономия, математические решения. Физико-математические вопросы, наблюдения, исследования, теории и их решение.
Физика альтернативная. Новые взгляды на физические законы, теории, эксперименты, не вписывающиеся в общепринятые законы физики.
Teхника, узлы, механизмы, электроника и аппаратура. Все про технику, приборы, детали, узлы и механизмы. Электроника, компьютеры, программное обеспечение. Новые технические решения в самых разных областях.
Биология, Генетика, Все о жизни. Генетика и другие вопросы биологии. Их развитие. Медицина. Биотехнологии, агротехника и сельское хозяйство. Эволюционные теории и альтернативные им.
Химия. Вопросы по химическим технологиям, разработкам и применению химических материалов. Химические элементы и их свойства.
Геология, все о Земле и ее обитателях. Геология, метеорология, антропология, сейсмология, атмосферные явления и непознанные эффекты природы.
Свернуть Мозговой штурм
Генератор решений. Здесь Вы можете заработать реальные деньги, помогая решать фирмам, предприятиям и частным лицам те или иные технические задачи, которые перед ними стоят. Те, кто ставят задачи перед участниками должны обозначить гонорар за ее решение и перевести указанную сумму на общий счет генератора.
Головоломки. Если у Вас есть желание поломать голову над интересными логическими задачами - Вам сюда.
Гипотезы. В этой теме идет обсуждение гипотез и предположений, основанных чисто на теории и логике.
Найди ляп! Этот раздел для тех, кто хочет мысленно расслабиться. Он посвящен задачам по поискам ляпов, которые встречаются в литературе, интернете, кино и на телевидении.
Свернуть Взгляд в будущее и настоящее
Глобальные темы. Вопросы касающиеся всех. Глобальные угрозы и злободневные темы современности.
Наука и ее развитие. Все о развитии науки, направлениях и перспективах движения научной мысли и знаний.
Новая Цивилизация. Принципы социального устройства новой цивилизации. Увеличение роли созидательного интеллекта... Отдалённые перспективы развития человечества...
Вопросы без ответов. Этот раздел посвящен вопросам и проблемам, которые до сих пор не решены. Предлагайте свои решения.
Военная стратегия и тактика современных боевых действий. Об особенностях современного военного искусства. Проблемные вопросы теории и практики подготовки вооруженных сил к войне, её планирование и ведение в различных конфликтах на планете.
Свернуть Гуманитарные науки и дисциплины
Философские дискуссии. Диспуты по вопросам жизни, сознания, бытия и иных философских понятий.
Экономика. Вопросы по экономике и о путях развития России и других стран.
Социология, Политология, Психология. В этом разделе обсуждаются вопросы, как отдельных частных исследований данных наук, так и проблема соотношения этих наук с остальными.
Образование. Все об образовании: как учить, кому учить, чему учить и кого учить.
Религия и атеизм. Вопросы религий и атеистические взгляды, религиозные споры.

Хотите разместить свою статью или публикацию, чтобы ее читали все?
Как это сделать - узнайте здесь.

Назад

 
О проекте Контакты Архив старого сайта

Copyright © SciTecLibrary © 2000-2017

Агентство научно-технической информации Научно-техническая библиотека SciTecLibrary. Свид. ФС77-20137 от 23.11.2004.