СТАТЬИ И ПУБЛИКАЦИИ

Вход или Регистрация

ПОМОЩЬ В ПАТЕНТОВАНИИ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФОРУМ Научно-техническая библиотекаНаучно-техническая библиотека SciTecLibrary
 
Cтатьи и Публикации    Электрофизика МЕХАНИКА КВАЗИНЕЙТРАЛЬНЫХ СИСТЕМ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

 

 

МЕХАНИКА КВАЗИНЕЙТРАЛЬНЫХ СИСТЕМ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ И ЗАКОНЫ

СОХРАНЕНИЯ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

 

© В.А. Кулигин, Г.А. Кулигина

Воронежский ордена Ленина Государственный Университет
имени Ленинского Комсомола
 

Контакт с автором: victor_kuligin@mail.ru

 

 Депонированная рукопись

УДК 531:587.8

Механика квазинейтральных систем заряженных частиц и законы сохранения нерелятивистской электродинамики / Кулигин В.А., Кулигина Г.А.; Воронеж. Ун-т. – Воронеж, 1986. -42 с.: Ил. – Библиогр. 4 назв. – Деп. в ВИНИТИ 04.09.86 6451 – В86

 Из релятивистской функции Лагранжа выводится нерелятивистская функция для квазинейтральных систем заряженных частиц. Она инвариантна относительно преобразования Галилея. Это позволяет с позиции механики Ньютона объяснить взаимодействие зарядов с магнитным полем и устранить асимметрию в законе Ампера. Рассмотрены вопросы механики квазинейтральных систем. Доказано, что работа, совершаемая зарядами квазинейтральной системы, инвариантна относительно преобразования Галилея. Выяснено, что из релятивистской функции Лагранжа в нерелятивистском приближении вытекает решение проблемы электромагнитной массы для нерелятивистского случая. Однако эти результаты не согласуются с теоремой Пойнтинга. Для уравнений Максвелла в нерелятивистском приближении доказываются законы сохранения, в частности, закон Умова. Из них вытекает, что в рамках уравнений Максвелла в нерелятивистском приближении существует решение проблемы электромагнитной массы. Отсюда следует предположение о том, что уравнения Максвелла оперируют с двумя разновидностями поля. Первая – поле заряда, удовлетворяющее закону Умова. Вторая – электромагнитная волна, для которой справедлива теорема Пойнтинга.

________________________________________________________

Введение

Бурное развитие квантовых теорий, решение многочисленных прикладных задач теоретической физики позволило науке и технике сделать большой шаг вперед в познании материального мира. Однако это негативно отразилось на анализе теоретических вопросов квазистатической электродинамики: они оказались как бы “во втором эшелоне” переднего края науки. Цель данной работы частично восполнить этот пробел и попытаться связать нерелятивистские вопросы квазистатической электродинамики с классической механикой. Такой подход имеет свои основания и опирается на принцип материального единства мира. Однако он не имеет ничего общего с “механицизмом” - стремлением догматически навязать электродинамике механические принципы. Наша задача установить органическое единство материалистической механики и электродинамики зарядов. Для этого существует принципиальная основа: обе теории опираются на общий вариационный принцип и, следовательно, должны подчиняться некоторым общим закономерностям.

 

1.Квазинейтральные системы

Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из большого числа заряженных частиц, взаимодействующих между собой. Пусть эти частицы локализованы в некотором объеме V0 . Обозначим положительный суммарный заряд всех положительно заряженных частиц через Q+ , а отрицательно заряженных – через Q- . Необходимым условием квазинейтральности системы служит условие:

Суммарный заряд квазинейтральной системы должен быть значительно меньше по абсолютной величине суммарного заряда всех положительно (отрицательно) заряженных частиц. Помимо этого, частицы должны быть достаточно хорошо “перемешаны” между собой. Ниже мы уточним условие квазинейтральности системы.

Нас будет интересовать частный, но весьма важный для практики случай, когда средние скорости частиц невелики по сравнению со скоростью света, и когда излучением энергии в бесконечность при взаимодействии частиц можно пренебречь. Поясним это.

Пусть объем V0 охвачен сферой достаточно большого радиуса с центром внутри V0 так, что V0 целиком находится внутри сферы. Мы будем считать, что поток вектора Пойнтинга через поверхность сферы равен нулю или столь мал по сравнению с полной энергией взаимодействия (кинетической энергией частиц и потенциальной энергией их взаимодействия), что им можно в первом приближении пренебречь.

Как известно, энергия, уносимая электромагнитным полем из замкнутой системы в бесконечность, обуславливает диссипативные потери в системе. Неизлучающую замкнутую систему взаимодействующих зарядов в силу этого можно считать консервативной.

Для описания поведения и свойств консервативной нерелятивистской системы нам необходимо записать нерелятивистскую функцию Лагранжа. Обычно рассматривая взаимодействие заряда с полем, действие записывают в следующей форме:

(1.1)

Затем различными способами разлагают релятивистское выражение (1.1) по степеням v / c и берут соответствующие приближения. В [1] , например, разлагают запаздывающие потенциалы по степеням времени запаздывания t = R / c. Этот путь для нас мало пригоден потому, что в нерелятивистском приближении при отсутствии излучения запаздывание потенциалов не играет принципиальной роли, а главную роль играют скорости движения частиц. Эти скорости в явном виде входят в (1.1).

Более предпочтительным нам представляется иной путь получения нерелятивистской функции Лагранжа. Этот путь нагляден, менее громоздок, ведет к интересным для физики промежуточным результатам и позволяет легко учесть специфику квазинейтральных систем.

Расшифруем (1.1) для случая двух взаимодействующих зарядов и придадим ему форму, симметричную относительно взаимодействующих зарядов (см. Приложение).

(1.2)

где: e1 и e2 – величины зарядов взаимодействующих частиц;

m1 и m2 – массы покоя взаимодействующих частиц;

Ai1 – 4-потенциал поля заряда e1 в точке, где находится заряд e2;

Ai2 – 4-потенциал поля заряда e2 в точке, где находится заряд e1;

xi1 и xi2 – 4-координаты взаимодействующих зарядов.

Симметрия функции Лагранжа под знаком интеграла означает равноправие частиц.

Воспользуемся тем, что 4-потенциал поля движущегося заряда связан с 4-скоростью заряда соотношением:

где f - скалярный потенциал поля заряда,

и придадим (1.2) форму, удобную для физической интерпретации.

(1.3)

где v12 - скорость относительного движения частиц, определяемая формулой релятивистского сложения скоростей.

Выражение (1.3) интересно тем, что в нем вскрываются инерциальные свойства энергии взаимодействия двух зарядов. У каждой из взаимодействующих масс появляется “добавка” к массам, обусловленная взаимодействием частиц между собой. Эта добавка полностью соответствует известной формуле E = m c2 .

Запишем теперь функцию Лагранжа для неизлучающей замкнутой системы из N взаимодействующих частиц.

(1.4)

Обычно при выводе нерелятивистской функции Лагранжа считается, что определяющим является кулоновское электростатическое взаимодействие, которое дает первое приближение. Члены порядка v2 / c2 учитываются лишь во втором приближении. Поэтому в качестве первого приближения записывается следующая функция Лагранжа:

(1.5)

из которой вытекают уравнения движения в первом приближении

Однако при анализе квазинейтральных систем такой подход оказывается неправомерным. Неправомерен он потому, что в квазинейтральных системах из-за “перемешивания” зарядов происходит сильная компенсация кулоновских потенциалов и сил кулоновского происхождения. Эта компенсация столь велика, что по порядку величины кулоновские силы оказываются соизмеримы с силами взаимодействия через магнитные поля или даже значительно меньше их. Подобная компенсация является достаточным условием квазинейтральности системы.

В силу этого, при разложении функции Лагранжа по степеням v / c уже в первом приближении необходимо учитывать члены порядка v2 / c2 . Чтобы проиллюстрировать особый характер взаимодействия в таких системах, допустим, что на некоторый заряд действуют кулоновские силы и силы Лоренца, соизмеримые по величине. Магнитное поле порождается движением зарядов. Каждая частица дает вклад в это поле порядка v2 / c2 по отношению к собственному электростатическому полю. Нетрудно представить во сколько раз и как возросли бы кулоновские силы по сравнению с реально действующими, если бы все частицы квазинейтральной системы были бы одного знака! Именно это обстоятельство требует особого подхода к анализу квазинейтральных систем.

Несмотря на кажущуюся узость поставленной задачи, с подобными системами на практике приходится встречаться весьма часто. Диэлектрик, проводник, квазинейтральная плазма и т.д. – системы подобного рода. Поэтому задачи, связанные с взаимодействием заряда и тока, с поведением нерелятивистского электронного потока в скрещенном электрическом и магнитном полях (электронные СВЧ приборы М-типа), с замагниченной плазмой и т.д. – задачи, сводящиеся к квазинейтральным системам с сильной компенсацией кулоновских сил.

Итак, учитывая “слабый” характер кулоновских сил в квазинейтральной системе, получим из (1.4) нерелятивистскую функцию Лагранжа для квазинейтральной системы

(1.6)

В выражении (1.6) мы опустили постоянные члены нулевого приближения mic2. Остальные имеют четкую физическую интерпретацию.

- кинетическая энергия i – ой частицы с учетом взаимодействия.

Нетрудно видеть, что масса заряда получила некоторую “добавку”, обусловленную взаимодействием i – ой частицы с остальными. Эта добавка в квазинейтральной системе весьма мала, и ею можно пренебречь. Заметим также, что в нерелятивистском приближении vik = vi - vk .

После упрощений выражение (1.6) принимает следующий вид:

(1.7)

Функция Лагранжа обладает аддитивными свойствами, поэтому (1.7) можно получить, если считать, что для двух взаимодействующих частиц в квазинейтральной системе функция Лагранжа равна

(1.8)

Соотношение (1.8) удобно пользоваться при построении функций Лагранжа сложных систем. Отметим важное свойство выражений (1.7) и (1.8). Полученные функции Лагранжа инвариантны относительно преобразования Галилея. Это обстоятельство позволяет дать объяснение магнитным явлениям с позиции механики Ньютона, что до сих пор представлялось проблематичным или даже невозможным.

2.Механика квазинейтральных систем

Общий вид функции действия для квазинейтральной замкнутой консервативной системы можно записать в следующем виде:

(2.1)

где

Изучим свойства системы, описываемой действием (2.1). Прежде всего, найдем уравнение движения для i-той частицы. Для этого найдем вариацию действия d S и обратим ее в нуль. Варьировать подынтегральное выражение мы будем при следующих условиях: мы будем менять координату i-той частицы Ri , полагая t и координаты других частиц фиксированными (постоянными). В результате мы получим следующую систему уравнений движения:

(2.2)

где: d Rik = d Ri - d Rk = d Ri поскольку d Rk постоянна;

d vik = d vi - d vk = d vi поскольку d Rk постоянна;

Из (2.2) видно, что третий принцип Ньютона выполняется, т.е. действие равно противодействию. Более того, сила Fki оказывается инвариантной относительно преобразования Галилея, поскольку зависит от относительных величин vik и Rik. Ниже мы обсудим содержание понятий “сила” и “работа”, а сейчас найдем работу, совершаемую, i – частицей.

Умножим (2.2) на скорость i – частицы.

(2.3)

Это дифференциал кинетической энергии частицы при ее взаимодействии с другими частицами при условии, что все остальные частицы покоятся. Просуммируем (2.3) по индексу i.

(2.4)

Соотношение (2.4) показывает, что изменение кинетической энергии всех взаимодействующих частиц системы равно работе всех сил. Величина dK инвариантна относительно преобразования Галилея, т.е. не зависит от выбора инерциальной системы отсчета.

Время t можно рассматривать как четвертую координату частиц. Мы можем варьировать и эту координату. Наложим условие при варьировании t: положение i - частицы фиксировано (Ri – const; vi = 0), а все остальные частицы перемещаются, но взаимодействуют только с с. Такое взаимодействие описывается следующей частной функцией Лагранжа

(2.5)

Найдем вариацию этой функции Лагранжа

При выводе последнего выражения мы учли, что i – частица покоится. Продолжим преобразование, воспользовавшись уравнением движения для k- частицы (2.2)

Перенесем полную производную в левую часть

(2.6)

Выражение (2.6) – это изменение потенциальной энергии i – частицы при ее взаимодействии с другими частицами, при условии что i – частица покоится, а остальные частицы перемещаются и взаимодействуют только с ней. Суммируя (2.6) по индексу i , получим полное изменение потенциальной энергии всех взаимодействующих частиц.

(2.7)

Как и (2.4) соотношение (2.7) инвариантно относительно преобразования Галилея. Оно выражается через работу всех сил, действующих на заряды замкнутой квазинейтральной системы. Поэтому величину dA, равную , мы назовем дифференциалом работы, а саму величину A – работой.

Выясним теперь содержание понятий “сила” и “работа”. Понятию “сила” можно дать в классической механике следующее определение:

Сила – это свойство материального объекта (источника данного свойства), которое проявляется при взаимодействии материальных объектов и приводит к изменению состояния взаимодействующих объектов (импульс, траектория и др.)”.

  1. Отметим, что сила это свойство объекта, а не некий материальный объект. “Голой” силы, т.е. силы без источника, как свойства без объекта не бывает. Поэтому сила всегда имеет свой источник. Источниками сил могут быть самые разнообразные материальные объекты: заряд со своим полем, электромагнитная волна, которая несет с собой свое свойство – силовую характеристику, т.е. напряженность своего поля и т.д.
  2. Сила проявляется только во взаимодействии, т.е. во взаимном действии. Взаимность действия в классической механике отражается третьим принципом Ньютона. Для проявления силы необходимы, по крайней мере, два объекта, которые должны взаимодействовать.
  3. Очень важно, что сила зависит только от относительных величин: скоростей и расстояний. Положение субъекта-наблюдателя не влияет на силу взаимодействия. Как нами ранее было установлено, сила инвариантна относительно преобразования Галилея.

Работа является второй стороной (характеристикой) взаимодействия. Дадим следующее определение:

Работа – объективная количественная характеристика качественного изменения движения материи, характеризующая энергетическую сторону взаимодействия”.

Запишем теперь законы сохранения, вытекающие из (2.1). Мы не будем промежуточных результатов, поскольку существуют стандартные способы получения законов сохранения (первых интегралов), изложенные в любом учебнике по теоретической механике.

  1. В силу того, что функция Лагранжа не зависит явно от времени (инвариантна относительно преобразования t = t ‘ + t0, где t0 - const) имеет место закон сохранения энергии (2.9)
  2. Закон сохранения импульса вытекает из инвариантности функции Лагранжа относительно преобразования R = R’ + R0 , где R0 – const. (2.10)
  3. Из инвариантности функции Лагранжа относительно вращений пространственных координат , где R0 – постоянен, а dj - угол поворота, следует закон сохранения момента импульса (2.11)
  4. Из инвариантности функции Лагранжа относительно преобразования Галилея следует, что центр инерции замкнутой системы, определяемый выражением движется относительно наблюдателя с постоянной скоростью
.

Таковы следствия, вытекающие из соотношения (2.1) в рамках классической механики для квазинейтральных систем электродинамики. Попутно заметим, что все полученные результаты остаются справедливыми и для случая, когда vik = 0, а Lik зависит только от Rik.

3.Магнитные явления

Инвариантность функции Лагранжа относительно преобразования Галилея позволяет описать магнитные явления с позиции механики Ньютона. Проиллюстрируем это на примерах.

Рассмотрим взаимодействие двух проводников с токами. Проводник мы представим в виде ионной решетки положительных зарядов и электронов проводимости (квазинейтральная система). Пусть первый проводник, т.е. его кристаллическая решетка, движется со скоростью v1, а второй – со скоростью v3, как показано на рис. 1.

Рис.1.

Обозначения: v1 – скорость положительных зарядов проводника 1; v2средняя скорость отрицательных зарядов проводника 1; v3 - скорость положительных зарядов проводника 2; v4 - средняя скорость отрицательных зарядов проводника 2; v21 = v2 – v1 - средняя скорость движения отрицательных зарядов в проводнике 1 относительно положительных; v43 = v4 – v3 - средняя скорость движения отрицательных зарядов в проводнике 2 относительно положительных.

В силу аддитивности функции Лагранжа его функция будет определяться суммой парных взаимодействий положительных и отрицательных зарядов двух проводников. Выделим во втором проводнике объем dv, в котором r 3 и r 4 – плотности положительных и отрицательных зарядов соответственно. Пусть в этом объеме положительные заряды проводника 1 создают потенциал f 1, а отрицательные - f 2. Будем считать, что оба проводника квазинейтральны: r 3 +r 4 = 0; f 1 +f 2 = 0. Плотность лагранжиана равна:

(3.1)

где: j = r 3v34 = r 4v43 плотность тока в проводнике 2; A = f 1v12 / c2 =f 2v21 / c2 – векторный потенциал, создаваемый проводником 1 в объеме dV проводника 2.

Нетрудно заметить, что плотность функции Лагранжа совпадает с общепризнанной. Однако заметим также, что это является следствием полной компенсации кулоновских потенциалов в квазинейтральных системах, а не релятивистским эффектом. Помимо этого, следует подчеркнуть, что (3.1) инвариантно относительно преобразования Галилея. Для получения функции Лагранжа необходимо (3.1) проинтегрировать по всему объему, содержащему проводники.

(3.2)

Теперь мы можем, опираясь на (3.2), рассмотреть взаимодействие двух бесконечно малых проводников с токами, т.е. взаимодействие двух элементарных токов. Пусть длины проводников dl1 и dl2 , а также размеры их поперечных сечений s1 и s2 малы по сравнению с расстоянием R12 между этими проводниками. В этом случае векторный потенциал первого проводника можно записать в известной форме:

где: I1 – ток, протекающий через поперечное сечение первого проводника, Подставим это выражение в (3.2)

и, учитывая малость объема dV, в котором векторный потенциал А, можно считать постоянным, получим:

(3.3)

где

Отметим, что (3.3) инвариантно относительно преобразования Галилея. Полученное нами соотношение (3.3) позволяет устранить асимметрию закона Ампера, которая до сих пор не получила бесспорного объяснения. Эта асимметрия в ряде случаев приводит е нарушению Третьего закона Ньютона. Это видно из записи выражений для сил:

В общем случае F12 ¹ F21. Пример подобного нарушения приведен в [2], а рисунок из этой работы воспроизведен ниже

Рис. 2

 

На рис. 2 показано, что второй элемент тока воздействует на первый с силой F21, отличной от нуля, а сам не испытывает никакого воздействия со стороны первого элемента тока.

Чтобы выяснить особенности взаимодействия элементарных токов, запишем интеграл действия, опираясь на (3.3):

Варьировать мы можем только две величины R12 – расстояние между двумя проводниками и j 12 – угол взаимной ориентации элементов тока.

  1. Будем варьировать R12 при угле j 12 постоянном. Отсюда следует, что (3.4)

    Как мы видим, Третий принцип Ньютона выполняется.

  2. Будем варьировать угол взаимной ориентации элементов тока j 12 при неизменном R12. Отсюда следует, что (3.5)

Результаты (3.4) и (3.5) полностью описывают явления, связанные с взаимодействием двух элементарных токов. Третий принцип Ньютона не нарушается.

Правильность полученного вывода можно подтвердить, используя выражение для силы Лоренца при отсутствии кулоновских сил.

(3.6)

Вычислим значения

Подставляя эти выражения в (3.6), получим

По своей форме полученное выражение соответствует выражению (3.4). Действительно, если q1v1 соответствует I1dl1 , а q2v2 соответствует I2dl2 , то придем к выражению (3.4), что и требовалось показать.

Рассмотрим другой пример. Пусть взаимодействуют заряд и проводник с током. Как и прежде, проводник мы будем рассматривать как ионную решетку, в которой со средней скоростью движутся электроны проводимости. Пусть заряд и проводник движутся со своими скоростями.

Рис. 3

Обозначения: v1 – скорость движения положительных зарядов проводника; v2 – скорость движения электронов проводника; v – скорость свободного заряда; v21 = v2 - v1 – средняя скорость электронов проводимости относительно проводника.

Будем считать, что количество положительных и отрицательных зарядов проводника велико и заряд q не влияет на ток в проводнике.

Пусть в точке, где находится заряд q, положительные заряды создают потенциал f 1, а отрицательные - f 2. Проводник квазинейтрален, т.е. f 1 + f 2 = 0.

Запишем функцию Лагранжа

(3.7)

Учитывая условие квазинейтральности, придадим (3.7) форму, удобную для дальнейшего исследования

Обозначим (v1+v2) / 2 = v0 – скорость базовой системы отсчета. Базовой системой отсчета для проводника мы будем считать систему отсчета, в которой положительные и отрицательные заряды движутся относительно наблюдателя с одной скоростью, но в противоположные стороны.

(3.8)

Соотношению (3.8) можно придать стандартную форму, если ввести следующие обозначения

- векторный потенциал в точке, где находится заряд q;

- скорость заряда относительно базовой системы отсчета;

Итак,

Заметим, что (v1 – v2) весьма мало, поэтому потенциал f 1 является функцией (R –v0t), а производная dR / dt есть скорость v движения заряда q. Учитывая эти замечания, нетрудно записать уравнение движения для заряда, в правой части которого стоит сила Лоренца

(3.9)

Выражение (3.9) можно записать и в другой форме

где представляет известный результат [1] преобразования магнитного поля с помощью формулы Лоренца при переходе наблюдателя из базовой системы отсчета в другую инерциальную систему, движущуюся относительно базовой со скоростью v0.

Обратимся вновь к (3.9) и преобразуем это выражение, выразив векторный потенциал через скалярный.

(3.10)

Из (3.10) следует, что заряд и проводник с током не будут взаимодействовать, если;

  1. v1 – v2 = 0 – тривиальный случай отсутствия тока в проводнике;
  2. v - v0 = 0 – заряд покоится в базовой системе отсчета;
  3. (v1 – v2)( v - v0) = 0 , но v1 – v2 ¹ 0 и v - v0 ¹ 0; заряд в базовой системе движется перпендикулярно проводнику с током.

Обычно средняя скорость движения электронов проводимости в проводнике мала, поэтому приближенно можно считать, что базовая система отсчета связана с проводником. Аналогичные базовые системы отсчета имеют магниты, электромагниты и т.д.

Если заряд движется относительно базовой системы отсчета, пересекая магнитные силовые линии поля (неподвижные в базовой системе), то на заряд со стороны магнитного поля будут действовать силы. Если же покоится, то силы равны нулю.

Все изложенное хорошо согласуется с современными представлениями. Отсюда можно сделать вывод, что магнитным явлениям и взаимодействиям зарядов с магнитным полем для нерелятивистских случаев можно дать непротиворечивое объяснение с позиции механики Ньютона.

4.Проблема электромагнитной массы

В современной электродинамике до сих пор нет решения проблемы электромагнитной массы. Однако если обратиться к выражению (1.3), то можно заметить, что в нем заложено решение этой проблемы. Допустим, что заряды e1 и e2 оказались жестко связаны и образуют единую частицу. Скорости их стали одинаковыми и действие примет следующий вид:

(4.1)

Величину m0 = m1 + m2 + (e1f 2 + e1f 2) / 2c2 можно назвать результирующей инерциальной массой заряженной частицы (электромагнитная масса). Очевидно, что при взаимодействии внутренних частей заряда кулоновские силы стремятся “разорвать” заряд. Чтобы заряд существовал как устойчивое единое тело, необходимо, чтобы кулоновские силы были уравновешены силами неэлектростатического происхождения. Источником этой силы должна быть энергия неэлектростатического происхождения En, которой отвечает неэлектромагнитная масса mn = En / c2 .

Полная масса заряженной частицы m0 = mn + m, где m – масса электромагнитного происхождения, определяемая соотношением .

Подставим это выражение в релятивистскую функцию Лагранжа

(4.2)

Поскольку мы будем решать эту проблему в нерелятивистском приближении, запишем (4.2) для этого случая

(4.3)

Из (4.3) следует, что поле заряда обладает:

  1. массой
  2. кинетической энергией , где A = f v/c2 ; j = r v
  3. импульсом

    Очевидно, что все эти величины связаны между собой известными из механики Ньютона соотношениями: K = mv2 / 2; P = mv .

    Этим интегральным величинам соответствуют плотности этих величин:

  4. w = r f / 2 – плотность энергии электростатического поля;
  5. w* = jA / 4 – плотность кинетической энергии;
  6. S = r f v / 2 – плотность потока энергии электростатического поля при движении заряда (конвективный перенос энергии).

Приведенные выражения для плотностей можно преобразовать к другой форме, если воспользоваться тем, что f и А удовлетворяют уравнениям: D f = - r / e , D A = - m j.

Запишем сумму Е + К и преобразуем ее

При интегрировании по бесконечно удаленной поверхности второй интеграл обращается в нуль, поэтому имеем

(4.4)

Из (4.4) получаем:

Итак, мы получили, две группы выражений для плотности потенциальной и кинетической энергии и плотности потока. Каждой группе отвечает своя концептуальная интерпретация: зарядовая и полевая. Для удобства сопоставления выражения для них сведены в таблицу.

 

Таблица.

название

Зарядовая концепция

Полевая концепция

Плотность потенциальной энергии w

Плотность кинетической энергии w*

Плотность потока энергии S

Связь между величинами:

Обе концепции математически равноправны, и отдать предпочтение одной из них можно только исходя из физических соображений.

Итак, из (4.2) в нерелятивистском приближении вытекает, что электромагнитная масса обладает всеми атрибутами обычной инерциальной массы.

Мы хотим обратить внимание на одну немаловажную сторону физической интерпретации плотности потока поля заряда. Из полученных выражений следует, что масса поля заряда не зависит от знака заряда и всегда положительна. При движении заряда возникает конвективный поток с плотностью S. Этот поток можно связать не только с переносом энергии электростатического поля, но и с переносом массы. Коль скоро переносится масса, должен существовать поток, и обратно: если существует поток энергии поля заряда, то обязательно переносится масса.

Итак, если исходить из (4.2), то решение проблемы электромагнитной массы в рамках квазистатического приближения очевидно и на этом пути не возникает никаких трудностей. Трудности появляются тогда, когда мы пытаемся согласовать эти выводы с вектором Пойнтинга. Поясним это на примерах.

Пример 1. Полученная из механики плотность энергии поля заряда равна (4.4)

Та же величина, вытекающая из теоремы Пойнтинга, равна

(4.5)

Путем математических преобразований эти выражения никак нельзя свести одно к другому, поскольку, например, в (4.5) коэффициент при rot2A в два раза больше, чем необходимо (см. (4.4)).

Мы не сомневаемся в справедливости механики, электродинамики и корректности вывода Пойнтинга. Нам остается предположить, что теорема Пойнтинга, которая хорошо “приспособлена” для описания потока энергии электромагнитной волны, имеет границы применимости и мало пригодна для вычисления кинетической энергии и плотности потока поля заряженной частицы. Подтвердим это ниже.

Пример 2. Рассмотрим сферический заряд, который движется вдоль оси х. Пусть плотность пространственного заряда постоянна внутри сферы. Подсчитаем плотности потоков для двух участков с помощью вектора Пойнтинга.

Рис. 4

Плотность потока, создаваемая на участке dV1 равна S1 = [E ´ H] = e grad f . Это ровно в два раза больше, чем требуется механикой.

Такой же участок dV2 , но лежащий на оси х, вовсе не дает вклада в общий поток, поскольку S2 = 0.

Почему для одной и той же плотности энергии получаются различные плотности потоков? Почему для различных частей заряда не справедливо соотношение S = w v ? Видимо здесь вектор Пойнтинга “не срабатывает”.

Пример 3. Рассмотрим бесконечную заряженную плоскость (y; z) толщиной а.

 

Если плоскость перемещается вдоль оси y относительно наблюдателя, то в соответствии с вектором Пойнтинга плотность потока равна

Вновь плотность потока в два раза выше, чем это необходимо. В то же время, если плоскость перемещается относительно наблюдателя вдоль оси х, то потока нет S = 0 (!), хотя, как и в предыдущем случае, есть перенос энергии и перенос электромагнитной массы. И в этом примере нет объективного объяснения причин, по которым скалярная масса вдруг обретает “тензорные” свойства.

Пример 4. Отсутствие потока наблюдается, например, при радиально-симметричном движении зарядов. Допустим, что заряды равномерно распределены на поверхности сферы, как изображено на рис. 6.

Рис.6

Когда радиус сферы увеличивается, заряды перемещаются в радиальном направлении. Каждый заряд должен переносить свою энергию и массу, т.е. создавать поток энергии. Однако импульсы от зарядов непонятным образом “гасят” друг друга и вектор Пойнтинга вновь равен нулю!

Пример 5. То же отсутствие потока энергии можно “обнаружить” с помощью вектора Пойнтинга и у проводника с постоянным током. Вокруг проводника возникает магнитное поле, а электрическое поле равно нулю. Из-за этого, несмотря на то, что каждый движущийся заряд переносит импульс и дает вклад в общий поток энергии, этот общий поток оказывается равным нулю. В то же время у такого же электронного потока в вакууме поток вектора Пойнтинга существует.

Не только в квазистатической, но и в релятивистской электродинамике есть аналогичные противоречия. Достаточно вспомнить хорошо известную проблему “4/3”, описываемую во многих учебниках по классической электродинамике (см., например, [3]).

Однако бесспорного логического объяснения эти примеры не имеют. Нам представляется, что вектор Пойнтинга не применим к полям движущихся зарядов. Но чтобы дать достоверное объяснение, необходимо проанализировать уравнения Максвелла.

 

5.Вектор Умова

Исторически уравнения Максвелла опираются на эксперименты квазистатического характера, на закон Кулона, закон Ампера, закон Био-Савара, закон Фарадея и т.д. Лишь позже Максвеллу удалось их связать в единое целое, а Герцу экспериментально подтвердить существование электромагнитных волн. Именно поэтому анализ уравнений Максвелла мы будем проводить в квазистатическом приближении.

Запишем уравнения Максвелла с точностью до членов v2 / c2 и выясним их физический смысл.

Запишем теперь выражения для Е и Н через скалярный потенциал f при v неизменной:

В результате получим

(5.2)

Поскольку мы будем считать скорость движения зарядов v постоянной, полученную систему уравнений можно преобразовать к следующему виду

(5.3)

(5.3)

Интересен физический смысл уравнения (5.4) Это известное уравнение механики сплошных сред. Выражение (5.4) есть необходимое и достаточное условие сохраняемости вектора - gradf и интенсивности его векторных трубок (см., например, [4]).

Таким образом, с точки зрения механики сплошных сред квазистатическая и классическая механика имеют много общего.

                                                                                                      

Учитывая уравнение непрерывности (5.1), полученному результату можно придать окончательный вид:

(5.6)

где: - плотность потока энергии поля заряда; - плотность энергии поля заряда.

Результат (5.6) представляет собой типичный закон Умова. Сразу же отметим совпадение полученных результатов с результатами, вытекающими из механики (см. Таблицу на стр. 15).

Закон Умова не является частным случаем закона Пойнтинга и не сводится к нему. Он описывает конвективный перенос энергии электростатического поля из одной точки пространства в другую со скоростью движения заряда v.

Закон Умова (5.6) позволяет определить электромагнитную массу и электромагнитный импульс поля заряда через поля этого заряда

Таким образом, между подходом, опирающимся на релятивистскую механику, и релятивистскую функцию Лагранжа и подходом, опирающимся непосредственно на уравнения Максвелла, существует четкая и непротиворечивая связь в рамках квазистатического приближения.

Дадим еще один закон сохранения энергии. Для этой цели преобразуем уравнение (5.2). Выразим величины, входящие в него через векторный потенциал А. Воспользуемся тем, что

В результате получим

(5.5)

Это уравнение описывает векторный потенциал полей движущегося заряда с точностью до v2/c2.

Для доказательства воспользуемся формулой Грина для векторного потенциала

(5.7)

(5.8)

В дифференциальной форме закон имеет следующий стандартный вид

(5.9)

где:

  1. - плотность мощности сил самодействия тока;
  2. -плотность кинетической энергии электрического поля;
- плотность потока электрической энергии.

Полученные соотношения позволяют записать кинетическую энергию поля заряда

(5.10)

Таким образом, выражение для плотности кинетической энергии электростатического поля полностью согласуется с результатами, вытекающими из функции Лагранжа (4.2) в нерелятивистском приближении.

Отметим существенное отличие (5.9) от (5.6). Поток в (5.6) связан со скоростью движения заряда. Поток в (5.9) распространяется с бесконечной фазовой скоростью, т.е. мгновенно без запаздывания.

Чтобы проиллюстрировать закон (5.9), обратимся к примеру. Рассмотрим элемент тока, векторный потенциал которого описывается соотношением

Вычислим необходимые величины

Пользуясь этими промежуточными результатами, найдем

(5.11)

(5.12)

Из (5.11) следует, что поток существует лишь тогда, когда происходит изменение тока во времени. При возрастании тока поток положителен и направлен вдоль радиуса от элемента тока. Если же ток уменьшается, то поток движется в обратном направлении и стремится поддерживать ток. Изменяется поток мгновенно во всем пространстве. Его плотность падает пропорционально R-3.

Опираясь на механику и результаты, вытекающие из электродинамики, можно достоверно утверждать, что электростатическое поле заряда обладает “механическими” свойствами. Оно обладает массой, импульсом и кинетической энергией.

Сформулированные нами результаты позволяют дать корректное объяснение парадоксам, рассмотренным в параграфе 4.

Пример 1. Полученные нами из уравнений Максвелла соотношения для потока и кинетической энергии позволяют утверждать, что полная энергия поля заряда равна:

Пример 2. Обратимся к рис. 4. Из (5.6) следует, что любой элемент заряда создает поток, плотность которого прями пропорциональна плотности энергии электростатического поля и скорости его движения.

При равных условиях все элементы заряда дают равный вклад в суммарный поток.

Пример 3. Здесь, как и в предыдущем случае, плотность потока зависит только от величины скорости и плотности энергии электростатического поля. При движении вдоль оси y имеем

При движении вдоль оси х имеем

При выводе Sx мы учли что vx и gradf параллельны, а также уравнение непрерывности потенциала (5.1).

Пример 4. Здесь имеет место интересная особенность. В силу радиально-симметричного движения зарядов вне заряженной сферы нет ни магнитного поля, ни изменения во времени скалярного потенциала f . Вне сферы потенциал постоянен.

Однако и в этом случае существует поток энергии. Радиальное движение зарядов создает векторный потенциал А. Поскольку этот потенциал имеет центральную симметрию, его дивергенция отлична от нуля

Следовательно, и в этом случае имеет место стандартная плотность потока энергии.

Пример 5. Представим, как и прежде, проводник в виде совокупности неподвижной ионной решетки и электронов проводимости, создающих ток. Неподвижная решетка не дает в поток никакого вклада. Поток создается движущимися электронами. То, что результирующее электрическое поле равно нулю, есть результат нейтральности проводника и усредненного характера суммарного поля. Вне проводника локальное поле любого заряда отлично от нуля. Оно и определяет поток энергии и перенос электромагнитной массы. Когда заряд движется, вместе с ним движется и его поле и, следовательно, переносится его электромагнитная масса. Магнитное поле есть признак движения электростатического поля независимо от того, скомпенсировано это поле другими неподвижными зарядами или нет.

 

Заключение

Подведем итоги. Опираясь на полученную из релятивистской функции Лагранжа нерелятивистскую функцию для квазинейтральных систем, мы смогли дать объяснение магнитным явлениям с позиции механики Ньютона и устранить асимметрию при описании взаимодействия элементарных токов.

При анализе механики квазинейтральных систем был получен важный вывод об инвариантности работы в рамках преобразования Галилея, т.е. независимости работы от выбора наблюдателем инерциальной системы отсчета.

Из релятивистской функции Лагранжа в нерелятивистском приближении вытекало, что поле заряда должно обладать инерциальными свойствами. Однако этот вывод находится в противоречии со следствиями, вытекающими из теоремы Пойнтинга. Опираясь на выведенные из уравнений Максвелла в нерелятивистском приближении законы сохранения энергии, мы показали, что квазистатическая электродинамика и нерелятивистская механика находятся в хорошем соответствии и не противоречат друг другу. Было установлено, что действительно в квазистатическом приближении энергия электростатического поля обладает стандартными инерциальными свойствами и ей можно приписать массу, импульс и кинетическую энергию.

Что касается теоремы Пойнтинга, то ее использование для вычисления потоков энергий полей зарядов и электромагнитной массы ведет к некорректным результатам.

Все изложенное свидетельствует о том, что система уравнений Максвелла описывает две разновидности полей. Одно из них – поле заряда. Это поле всегда связано со своим зарядом. Какие бы эволюции ни совершал заряд в пространстве и во времени, если он в данный момент покоится в инерциальной системе отсчета, связанной с наблюдателем, его поле будет определяться только величиной заряда, и не будет зависеть от предыстории движения заряда.

Второе поле – электромагнитная волна. Излучившись, это поле в последующие моменты времени существует самостоятельно и “живет собственной жизнью” независимо от “судьбы” породившего его источника.

Поле заряда играет роль как бы посредника между механическим движением заряда и электромагнитной волной. Оно преобразует механическую энергию при ускоренном движении заряда в электромагнитную волну и обратно.

Очевидно, что поле заряда и электромагнитная волна должны обладать каждая своим специфическим свойством. Масса покоя поля электромагнитной волны равна нулю, а поток этой волны описывается вектором Пойнтинга. Масса покоя электростатического поля заряда отлична от нуля и описывается вектором Умова.

Возвращаясь к электромагнитной массе поля заряда, можно сказать, что ее существование закономерно в рамках электродинамики. Во-первых, потому, что существование электромагнитной массы у зарядов можно считать фактом, установленным экспериментально (см. [3]). Во вторых, потому, что электродинамика и механика имеют общие закономерности и опираются на общий вариационный принцип.

Полное решение проблемы электромагнитной массы в электродинамике должно исходить из общего анализа уравнений Максвелла в рамках преобразования Лоренца. То, что такое решение должно существовать, нетрудно предсказать, опираясь на принцип соответствия Бора. Однако такой анализ выходит за рамки этой работы и требует самостоятельного анализа и изложения.

 

Приложение. Обоснование результата (2.3)

Действие для электромагнитной массы, выраженное через объемную плотность пространственного заряда, равно

(П.1)

Пользуясь тем, что Ai = f ui /c и dxi = ui ds , получим

, где:

Пусть теперь тот же заряд образован двумя заряженными частицами. Плотности их пространственного заряда r 1 и r 2 , 4-потенциал этих зарядов соответственно Ai1 и Ai2 , а 4-вифференциалы координат dxi1 и dxi2

Подставляя эти результаты в (П.1), получим

Интегрируя по объемам, содержащим заряды, найдем

Отсюда вытекает результат (1.2).

 

 Литература.

  1. Ландау Л.Д. Теория поля. – М.: ГИФМЛ, 1960. – 400 с.
  2. Тамм И.Е. Основы теории электричества. – М.: ГИФМЛ, 1954. – 620 с.
  3. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 6. Электродинамика: Пер. с англ. – М.: Мир, 1977. – 350 с.
  4. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. – М.: Наука, 1965. – 428 с.

 

 

 

Дата публикации: 1 сентября 2008
Источник: SciTecLibrary.ru

Вы можете оставить свой комментарий по этой статье или прочитать мнения других в следующих разделах ФОРУМА:
Свернуть Защита интеллектуальной собственности и авторских прав
Диспуты по темам изобретательства. Вопросы по изобретениям, проблемы на пути изобретателей и методы их решения.
Патентование. Все о патентовании изобретений, полезных моделей, промышленных образцов и товарных знаков.
Нерешенные задачи. Здесь идет обсуждение нерешенных задач: безопорный двигатель, вечный двигатель, преодоление гравитации и пр.
Свернуть Точные науки и дисциплины
Дебаты по Теории Относительности Эйнштейна. Все кому не лень хотят опровергнуть Теорию Относительности Эйнштейна. Вам предоставляется слово для аргументации.
Физика, астрономия, математические решения. Физико-математические вопросы, наблюдения, исследования, теории и их решение.
Физика альтернативная. Новые взгляды на физические законы, теории, эксперименты, не вписывающиеся в общепринятые законы физики.
Teхника, узлы, механизмы, электроника и аппаратура. Все про технику, приборы, детали, узлы и механизмы. Электроника, компьютеры, программное обеспечение. Новые технические решения в самых разных областях.
Биология, Генетика, Все о жизни. Генетика и другие вопросы биологии. Их развитие. Медицина. Биотехнологии, агротехника и сельское хозяйство. Эволюционные теории и альтернативные им.
Химия. Вопросы по химическим технологиям, разработкам и применению химических материалов. Химические элементы и их свойства.
Геология, все о Земле и ее обитателях. Геология, метеорология, антропология, сейсмология, атмосферные явления и непознанные эффекты природы.
Свернуть Мозговой штурм
Генератор решений. Здесь Вы можете заработать реальные деньги, помогая решать фирмам, предприятиям и частным лицам те или иные технические задачи, которые перед ними стоят. Те, кто ставят задачи перед участниками должны обозначить гонорар за ее решение и перевести указанную сумму на общий счет генератора.
Головоломки. Если у Вас есть желание поломать голову над интересными логическими задачами - Вам сюда.
Гипотезы. В этой теме идет обсуждение гипотез и предположений, основанных чисто на теории и логике.
Найди ляп! Этот раздел для тех, кто хочет мысленно расслабиться. Он посвящен задачам по поискам ляпов, которые встречаются в литературе, интернете, кино и на телевидении.
Свернуть Взгляд в будущее и настоящее
Глобальные темы. Вопросы касающиеся всех. Глобальные угрозы и злободневные темы современности.
Наука и ее развитие. Все о развитии науки, направлениях и перспективах движения научной мысли и знаний.
Новая Цивилизация. Принципы социального устройства новой цивилизации. Увеличение роли созидательного интеллекта... Отдалённые перспективы развития человечества...
Вопросы без ответов. Этот раздел посвящен вопросам и проблемам, которые до сих пор не решены. Предлагайте свои решения.
Военная стратегия и тактика современных боевых действий. Об особенностях современного военного искусства. Проблемные вопросы теории и практики подготовки вооруженных сил к войне, её планирование и ведение в различных конфликтах на планете.
Свернуть Гуманитарные науки и дисциплины
Философские дискуссии. Диспуты по вопросам жизни, сознания, бытия и иных философских понятий.
Экономика. Вопросы по экономике и о путях развития России и других стран.
Социология, Политология, Психология. В этом разделе обсуждаются вопросы, как отдельных частных исследований данных наук, так и проблема соотношения этих наук с остальными.
Образование. Все об образовании: как учить, кому учить, чему учить и кого учить.
Религия и атеизм. Вопросы религий и атеистические взгляды, религиозные споры.

Хотите разместить свою статью или публикацию, чтобы ее читали все?
Как это сделать - узнайте здесь.

Назад

 
О проекте Контакты Архив старого сайта

Copyright © SciTecLibrary © 2000-2017

Агентство научно-технической информации Научно-техническая библиотека SciTecLibrary. Свид. ФС77-20137 от 23.11.2004.