СТАТЬИ И ПУБЛИКАЦИИ

Вход или Регистрация

ПОМОЩЬ В ПАТЕНТОВАНИИ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФОРУМ Научно-техническая библиотекаНаучно-техническая библиотека SciTecLibrary
 
Cтатьи и Публикации    Физическая механика ОСНОВНОЙ ЗАКОН СТОХАСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

ОСНОВНОЙ ЗАКОН СТОХАСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

© Жук Николай Алексеевич, Чл.-кор. РАЕН, д-р философии, к.т.н., доцент

Контакт с автором: zhuck@ttr.com.ua

Аннотация

В работе исследуется применение теории случайных функций к динамике твердого тела и приводится выведенный автором основной закон, описывающий зависимость верхних оценок характеристик рассеивания координат, скоростей и ускорений твёрдых тел от характеристик действующих на них случайных возмущений. Тем самым заложены основы нового раздела механики – стохастической динамики твердых тел и их систем.

Введение

Бурное развитие теории случайных функций в математике уже давно поставило задачу перехода к процессному анализу сложных инженерных систем и комплексов. А этот анализ невозможен без стохастического представления объектов исследования, основу описания которых должен составлять новый раздел теоретической механики – стохастическая динамика твердых тел и их систем.

В последнее время большое распространение получил численный эксперимент на быстродействующих ЭВМ как один из методов исследования физических явлений. Достоинствами этого метода являются значительная дешевизна по сравнению с физическим экспериментом и возможность исследования таких явлений, для которых проведение физического эксперимента ограничено условиями безопасности.

При определении характеристик рассеивания координат твердых тел, движущихся в условиях воздействия случайных возмущений, чаще всего изучаемому процессу ставится в соответствие искусственный случайный процесс, моделируемый в вычислительной машине. Такой метод исследования наиболее широкое распространение получил с развитием мощной вычислительной техники и известен как метод Монте Карло [1].

Решение численных задач методом Монте Карло по духу своему ближе к физическому эксперименту, чем к классическим численным методам. Уменьшение ошибки приближенного решения задачи так же, как и в случае физического эксперимента, связано со значительным увеличением числа испытаний и, соответственно, времени вычислений. Так, например, увеличение точности решения задачи на порядок приводит к стократному удлинению времени её решения [1].

Рассмотренный ниже метод позволяет найти точное решение для некоторого класса задач путём однократного интегрирования системы уравнений, описывающей процесс рассеивания координат движущегося в условиях воздействия случайных возмущений твердого тела. Однако основное назначение метода заключается не в определении точных численных значений характеристик рассеивания координат и скоростей различных объектов, а в нахождении их верхних оценок. Знание таких оценок особенно необходимо, например, при выборе безопасных условий отделения авиационных грузов (бомб, ракет, подвесных баков и т.п.) от самолетов-носителей, определении размеров зон поиска пропавших безвести самолетов и кораблей, прогнозировании износа деталей узлов различных машин и механизмов и т.п.

    1. Содержание задачи
    2. В дальнейшем принята следующая система обозначений: если – какая-либо случайная функция аргумента , то , , , , – корреляционная функция, дисперсия, среднеквадратическое отклонение (с.к.о.), первая и вторая производные по времени этой функции соответственно.

      Существо предлагаемого исследования вытекает из свойств линейных преобразований случайных функций, заданных их каноническими разложениями [2], законов динамики твердого тела и сводится к следующему.

      В общем случае первичные случайные возмущения представляют собой случайные функции времени . Одной из основных характеристик каждой такой функции является её корреляционная функция , показывающая взаимосвязь процесса в разное время и . Дисперсия случайной функции, в свою очередь, является частным случаем её корреляционной функции при :

      . (1)

      Между корреляционной функцией и дисперсией существует более общее соотношение, справедливое также и при [3]:

      . (2)

      Соотношение (2) и положено в основу метода определения верхних оценок характеристик рассеивания координат твердых тел.

      При решении задачи считалось, что случайные возмущения некоррелированы (что для определенного круга задач можно вполне обосновать), а система уравнений, описывающая динамику объекта, линейна по отношению к этим возмущениям или может быть приведена к такому виду путём линеаризации. Следует отметить, что уравнения, описывающие движение центра масс средства поражения в какой-либо инерциальной системе координат, как правило, обладают такой линейностью.

      Далее, если случайную функцию представить в виде суммы из её математического ожидания и случайной составляющей, то корреляционная функция этой случайной функции будет равна корреляционной функции её случайной составляющей. Поэтому в дальнейшем можно ограничиться рассмотрением только случайной составляющей вектора ускорения исследуемого объекта (вызванной действием случайных возмущений) в проекциях на оси какой-либо инерциальной системы координат:

      , . (3)

      где: – случайные составляющие координат тела; – неслучайные координатные функции; – число координат; – число случайных возмущений (сил).

      Корреляционные функции проекций случайной составляющей вектора ускорений тогда будут равны

      . (4)

      Полученная зависимость (4) используется в дальнейшем для определения верхних оценок характеристик рассеивания проекций скоростей и координат исследуемого объекта.

      Используя свойства линейных преобразований случайных функций [4], можно найти корреляционные функции и , соответственно, проекций случайной составляющей вектора скорости и координаты исследуемого объекта:

      ; (5)

      (6)

      Использование равенства (1) позволяет найти искомую зависимость верхних оценок характеристик рассеивания (с.к.о.) координат, скоростей и ускорений твёрдых тел от характеристик действующих на них случайных возмущений.

    3. Определение верхних оценок характеристик рассеивания скоростей
    4. Дисперсии проекций случайной составляющей вектора ускорений определяются из равенства (4) при :

      (7)

      В выражении (7) есть с.к.о. случайное функции , а – с.к.о. проекций случайной составляющей вектора ускорений от действия -го случайного возмущения, – с.к.о. проекций суммарного ускорения материального тела.

      При определении дисперсий проекций случайной составляющей вектора скорости исследуемого объекта, а также их верхних оценок необходимо воспользоваться свойством (2):

      (8)

      где – верхние оценки с.к.о. проекций вектора скорости материального тела от действия -го отдельно взятого случайного возмущения.

    5. Определение верхних оценок характеристик рассеивания координат
    6. Аналогичную процедуру можно проделать и при определении верхних оценок дисперсий случайных составлявших координат исследуемого объекта:

      (9)

      В неравенстве (9) так же, как и в предыдущем случае, является верхней оценкой с.к.о. -й координаты от действия отдельно взятого -го возмущения.

      Замена корреляционных функций случайных возмущений на их дисперсии в выражениях (8) и (9) означает переход к определению верхних сценок характеристик рассеивания параметров движения (координат и скоростей) материального тела.

    7. Основной закон стохастической динамики твердого тела
    8. Для выведения окончательного результата, пригодного для практического использования, необходимо проанализировать выражения:

      (10)

      Нетрудно заметать, что правая часть первого и подынтегральные функции остальных выражений в (10) одинаковы. Если второе выражение продифференцировать один раз, а третье – дважды, то получится соотношение

      , (11)

      которое раскрывает взаимосвязь верхних оценок с.к.о. координат и проекций вектора скорости исследуемого объекта с с.к.о. проекций вектора его ускорения в условиях воздействия -то отдельно взятого случайного возмущения. Суммарные искомые характеристики определяется, соответственно, по формулам:

      (12)

      В общем случае выражение (11) представляет собой систему дифференциальных уравнений, которую легко модно преобразовать в форму Коши. Это и есть основной закон стохастической динамики твердого тела. При этом порядок новой системы уравнений будет определяться числом координат и учитываемых случайных возмущений:

      . (13)

      В том случае, когда случайные возмущения представляют собой случайные величины, система уравнений (11) является моделью реального процесса рассеивания параметров движения твердого тела. В остальных случаях она описывает верхние оценки характеристик рассеивания скоростей и координат, т.е. отражает наихудшие (с точки зрения воздействия случайных возмущений) условия функционирования исследуемого объекта.

      Интегрирование уравнений (11) должно проводиться совместно с интегрированием системы уравнений, описывающей изменение математических ожиданий параметров движения данного тела, что необходимо для определения координатных функций .

      Если начальные значения параметров движения тела неслучайны, то уравнения (11) интегрируются при нулевых начальных условиях, в противном случае решение может быть найдено в виде суммы линейной комбинации начальных условий и интегралов уравнений (11), найденных при нулевых начальных условиях [4].

    9. Заключение

Таким образом, рассмотренный метод позволяет определять верхние оценки характеристик рассеивания координат и скоростей твёрдых тел путём однократного интегрирования сравнительно небольшой системы уравнений, описывающей процесс рассеивания указанных параметров под действием случайных возмущений, представленных в виде случайных величин. Метод позволяет также определять вклад каждого случайного фактора в дисперсии этих параметров и, тем самым, проводить достаточно глубокие исследования процесса воздействия случайных возмущений на функционирование исследуемого объекта.

Целесообразность применения того или иного метода исследования определяется рядом условий, зачастую противоречивых. Безусловно, что и рассмотренный метод можно использовать не всегда, а лишь в случаях:

1) когда нелинейными членами системы уравнений, описывающей динамику функционирования исследуемого объекта, можно пренебречь как элементами второго порядка малости (в противном случае уравнения необходимо линеаризовать);

2) когда первичные случайные возмущения независимы.

В отношении первого условия следует отметить, что линейность или нелинейность исходной системы уравнений в значительной степени определяется выбором системы координат, в которой рассматривается движение исследуемого объекта. Так, уравнения движения его центра масс будут всегда линейны в инерциальных системах отсчета, а уравнения вращательного движения можно считать линейными в случае малых угловых скоростей или малости промежутка времени, в течение которого исследуется движение данного объекта.

Соблюдение же второго условия можно оценить лишь при анализе конкретных случайных возмущений. Например, для тел, движущихся в воздушной среде (самолетов, ракет, бомб, и т.п.), разброс массовых характеристик никак не может зависеть от турбулентности атмосферы, а их аэродинамический эксцентриситет – от углового эксцентриситета вектора тяги реактивного двигателя. Следовательно, можно вполне обоснованно выделить определённый класс задач, для которых оба указанных условия выполняются и возможно применение рассмотренного метода.

ЛИТЕРАТУРА:

  1. Соболь И. М., Срагович В. Г., Шрейдер Ю. А. “Метод статистических испытаний (Монте Карло)”. – Л.: Физматгиз, 1962.
  2. Пугачёв З. С. “Теория случайных функций и её применение к задачам автоматического управления”. – М.: Физматгиз, 1962.
  3. Вентцель Е. С., Овчаров Л. Д. “Теория вероятностей”. – М.: Наука, 1969.
  4. Вентцель Е. С. “Теория вероятностей”. – М.: Физматгиз, 1962.
Дата публикации: 16 января 2006
Источник: SciTecLibrary.ru

Вы можете оставить свой комментарий по этой статье или прочитать мнения других в следующих разделах ФОРУМА:
Свернуть Защита интеллектуальной собственности и авторских прав
Диспуты по темам изобретательства. Вопросы по изобретениям, проблемы на пути изобретателей и методы их решения.
Патентование. Все о патентовании изобретений, полезных моделей, промышленных образцов и товарных знаков.
Нерешенные задачи. Здесь идет обсуждение нерешенных задач: безопорный двигатель, вечный двигатель, преодоление гравитации и пр.
Свернуть Точные науки и дисциплины
Дебаты по Теории Относительности Эйнштейна. Все кому не лень хотят опровергнуть Теорию Относительности Эйнштейна. Вам предоставляется слово для аргументации.
Физика, астрономия, математические решения. Физико-математические вопросы, наблюдения, исследования, теории и их решение.
Физика альтернативная. Новые взгляды на физические законы, теории, эксперименты, не вписывающиеся в общепринятые законы физики.
Teхника, узлы, механизмы, электроника и аппаратура. Все про технику, приборы, детали, узлы и механизмы. Электроника, компьютеры, программное обеспечение. Новые технические решения в самых разных областях.
Биология, Генетика, Все о жизни. Генетика и другие вопросы биологии. Их развитие. Медицина. Биотехнологии, агротехника и сельское хозяйство. Эволюционные теории и альтернативные им.
Химия. Вопросы по химическим технологиям, разработкам и применению химических материалов. Химические элементы и их свойства.
Геология, все о Земле и ее обитателях. Геология, метеорология, антропология, сейсмология, атмосферные явления и непознанные эффекты природы.
Свернуть Мозговой штурм
Генератор решений. Здесь Вы можете заработать реальные деньги, помогая решать фирмам, предприятиям и частным лицам те или иные технические задачи, которые перед ними стоят. Те, кто ставят задачи перед участниками должны обозначить гонорар за ее решение и перевести указанную сумму на общий счет генератора.
Головоломки. Если у Вас есть желание поломать голову над интересными логическими задачами - Вам сюда.
Гипотезы. В этой теме идет обсуждение гипотез и предположений, основанных чисто на теории и логике.
Найди ляп! Этот раздел для тех, кто хочет мысленно расслабиться. Он посвящен задачам по поискам ляпов, которые встречаются в литературе, интернете, кино и на телевидении.
Свернуть Взгляд в будущее и настоящее
Глобальные темы. Вопросы касающиеся всех. Глобальные угрозы и злободневные темы современности.
Наука и ее развитие. Все о развитии науки, направлениях и перспективах движения научной мысли и знаний.
Новая Цивилизация. Принципы социального устройства новой цивилизации. Увеличение роли созидательного интеллекта... Отдалённые перспективы развития человечества...
Вопросы без ответов. Этот раздел посвящен вопросам и проблемам, которые до сих пор не решены. Предлагайте свои решения.
Военная стратегия и тактика современных боевых действий. Об особенностях современного военного искусства. Проблемные вопросы теории и практики подготовки вооруженных сил к войне, её планирование и ведение в различных конфликтах на планете.
Свернуть Гуманитарные науки и дисциплины
Философские дискуссии. Диспуты по вопросам жизни, сознания, бытия и иных философских понятий.
Экономика. Вопросы по экономике и о путях развития России и других стран.
Социология, Политология, Психология. В этом разделе обсуждаются вопросы, как отдельных частных исследований данных наук, так и проблема соотношения этих наук с остальными.
Образование. Все об образовании: как учить, кому учить, чему учить и кого учить.
Религия и атеизм. Вопросы религий и атеистические взгляды, религиозные споры.

Хотите разместить свою статью или публикацию, чтобы ее читали все?
Как это сделать - узнайте здесь.

Назад

 
О проекте Контакты Архив старого сайта

Copyright © SciTecLibrary © 2000-2017

Агентство научно-технической информации Научно-техническая библиотека SciTecLibrary. Свид. ФС77-20137 от 23.11.2004.