СТАТЬИ И ПУБЛИКАЦИИ

Вход или Регистрация

ПОМОЩЬ В ПАТЕНТОВАНИИ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФОРУМ Научно-техническая библиотекаНаучно-техническая библиотека SciTecLibrary
 
Cтатьи и Публикации    Теория Относительности Эйнштейна и ее критика ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НАРУШЕНИЯ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НАРУШЕНИЯ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

© Виктор КУЛИГИН, Галина КУЛИГИНА, Мария КОРНЕВА

Исследовательская группа “Анализ”

Контакт с авторами: kuligin@el.phys.vsu.ru

Аннотация:

Показано, что задача Коши для уравнений в частных производных может не иметь единственного решения. Приведен пример для однородного волнового уравнения с нулевыми начальными условиями, когда имеет место нетривиальное решение. Анализируется волновое уравнение для скалярного потенциала поля заряда в электродинамике. Показано, что теория относительности использует мгновенно действующие потенциалы, а не только запаздывающие. Делается вывод о том, что в общем случае кулоновская калибровка и калибровка Лоренца не эквивалентны.

Введение

Проблема существования и единственности решения является одной из центральных как в математике, так и в физике. В литературе существует доказательство существования и единственности решения задачи Коши для волнового уравнения (см., например, [1] стр. 44-46). Мы в этой работе мы рассмотрим вопрос о нарушении единственности решения задачи Коши для уравнений в частных производных. Мы изложим метод построения нового (параллельного) решения для свободного пространства (без граничных условий), т.е. покажем, что единственность решения задачи Коши для таких уравнений не имеет места. Чтобы сохранить единственность решения необходима формулировка некоторых дополнительных условий.

Отказ от рассмотрения граничных условий продиктован следующими соображениями. Во-первых, изложение не будет перегружено дополнительными деталями. Во вторых, оно не нарушает общности рассуждений и его нетрудно обобщить на случай наличия граничных условий. В третьих, нас интересуют физические процессы в свободном пространстве (например, излучение и распространение волн в электродинамике), к которым это доказательство имеет прямое отношение.

1. Принцип построения параллельного решения

Рассмотрим неоднородное волновое уравнение для свободного пространства.

Ln(r;t) u = f(r;t) (1.1)

где: Ln(r;t) – линейный дифференциальный оператор n –ого порядка, описывающий дифференциальное уравнение в частных производных того же порядка; f(r;t) – источник потенциала u, локализованный в некоторой области пространства и не имеющий сингулярностей.

Потециал u должен удовлетворять следующим начальным условиям:

; k = 0,1,…n-1 (1.2)

Если стандартное решение данной задачи существует, мы назовем это решение прямым решением дифференциального уравнения в частных производных.

Покажем теперь, что данная задача Коши имеет множество решений, отличающихся от прямого решения. Любое решение, отличающееся от прямого решения, мы будем именовать параллельным решением.

Рассмотрим теперь способ получения параллельного решения.

Представим потенциал u в виде суммы двух потенциалов

u = v + w (1.3)

Пусть потенциал v является, например, решением для t > 0 некоторого уравнения в частных производных порядка s, описываемого оператором Ls.

Lsv(r) = F (r;t) (1.4)

где индекс s определяет порядок дифференциального уравнения в частных производных (s £ n); F (r;t) - источник потенциала v, который мы можем выбрать, исходя из физических или иных соображений. В частности, мы можем положить F (r;t) = f (r;t)

Оператор Ls(r) также выбирается, исходя из физических или иных соображений, продиктованных условиями задачи.

Будем считать, что решение уравнения (1.4) существует и, следовательно, нам известны n частных производных потенциала v по времени. Будем считать, что все они существуют.

; k = 0,1,…n-1 (1.5)

Теперь, зная решение уравнения (1.4) – потенциал v, а также его производные (1.5), мы можем сформулировать уравнения для определения потенциала w и начальные условия для него. Это позволит соответственно, найти новое решение задачи Коши для уравнения (1.1) с начальными условиями (1.2). Новое решение, в отличие от прямого решения, мы будем именовать параллельным решением.

Подставляя выражение (1.3) в (1.1) и учитывая (1.4), нетрудно установить, что потенциал w должен удовлетворять следующему дифференциальному уравнению в частных производных

Lnw (r;t) = f(r;t) - Ln v(r;t) = f(r;t) - F (r;t) – [Ln Ls ] v(r;t) (1.6)

Правая часть уравнения (1.6) определена, поскольку мы считаем, что потенциал v нам известен. Начальные условия для потенциала w нам также известны и имеют следующий вид

; k = 0,1,…n-1 (1.7)

Если решение уравнения (1.6) при известных начальных условиях (1.7) существует, то существует параллельное решение уравнения (1.1) в форме (1.3), которое, во-первых, удовлетворяет начальным условиям (2), как нетрудно убедиться, и, во вторых, отлично от прямого решения той же задачи Коши.

Итак, если:

тогда помимо прямого решения существует параллельное решение задачи Коши.

Без доказательства выскажем положение, что параллельное решение будет тривиальным, если, например, имеет место тождество Ln = Ls . Однако, в общем случае параллельное решение не будет тривиальным. Анализ условий, при которых параллельное решение не будет тривиальным, требует специального исследования и самостоятельного изложения.

2. Параллельное решение однородного волнового уравнения

В качестве иллюстрации метода построения параллельного решения рассмотрим однородное волновое уравнение в безграничном одномерном пространстве с нулевыми начальными условиями.

(2.1)

Начальные условия:

(2.2)

Представим теперь функцию u как сумму некоторых двух функций:

u = v + w (2.3)

Наложим на функцию v условие. Пусть эта функция является решением уравнения Пуассона:

(2.3)

где

Заметим, что мы могли бы наложить v другое условие. Например, может v быть решением уравнения теплопроводности или другого уравнения. Здесь имеет место определенный произвол или степень свободы выбора условия. Тот же произвол имеет место и для выбора F.

Нетрудно видеть, что потенциал v равен

(2.4)

Подставим выражение (2.3) в (2.1) и перенесем члены, зависящие от F в правую часть.

(2.5)

Учитывая выражение (2.4), выражение (2.5) можно привести к следующему виду

(2.6)

Запишем теперь начальные условия для функции w

(2.7)

Решение для (2.6), удовлетворяющее начальным условиям (2.7), имеет стандартный вид

(2.8)

где (2.9)

Теперь мы можем записать параллельное решение u2

(2.10)

Несложно убедиться, что

Таким образом, на этом примере мы продемонстрировали, что задача Коши для волнового уравнения не имеет единственного решения.

Этот результат имеет фундаментальное значение для физики, поэтому далее мы рассмотрим прямое и параллельное решения неоднородного волнового уравнения для скалярного электрического потенциала.

 

3. Прямое решение неоднородного волнового уравнения

Здесь мы рассмотрим решение волнового уравнения для скалярного потенциала поля равномерно движущегося точечного заряда. Начальные условия при такой постановке задачи несущественны, поскольку поля, определяемые начальными условиями, удовлетворяют однородному волновому уравнению, т.е. они не имеют источников. Векторный потенциал мы рассматривать не будем для экономии места. Решение для него можно получить по аналогии с решением для скалярного потенциала.

ПРЯМОЕ РЕШЕНИЕ. Как известно, скалярный потенциал f поля заряда должен удовлетворять волновому уравнению (калибровка Лоренца).

(3.1)

где: f - скалярный потенциал поля заряда, d - дельта функция Дирака, v – скорость заряда.

Будем считать, что скорость v постоянна. Как известно, уравнения Максвелла не описывают рождения отдельного заряда. Мы будем предполагать, что заряд существует сколь угодно долго, а в свободном пространстве нет иных полей, кроме поля заряда. Чтобы не перегружать статью известными формулами, мы не будем выписывать решение в явном виде, а лишь обсудим его. Как видно из рис. 1, эквипотенциальные поверхности поля скалярного потенциала f 1 представляет собой семейство сферических поверхностей, не имеющих общего центра. Эти поверхности изображены для момента времени t = 0.

Рис1

Если бы заряд в этот момент времени мгновенно остановился, то при t > 0 картина поля изменилась бы так, как показано на рис. 2. Внутри расширяющейся сферы (R = ct; t > 0) мы обнаружим семейство эквипотенциальных сфер, имеющих общий центр. Вне этой сферы картина поля будет прежней. При r > ct эквипотенциальные поверхности не будут иметь общего центра, как и ранее. Они “запомнили” движение заряда до момента остановки, т.е. поле, сохраняет информацию о предшествующем движении заряда.

Рис 2

Потенциал f 1 есть прямое решение волнового уравнения, т.е. “запаздывающий” потенциал. Его отличительные признаки следующие. Во-первых, потенциал f 1 запаздывает относительно своего источника на время t = r/c, где r –расстояние от источника поля до точки наблюдения А (рис. 2). В силу этого, между движением источника поля и эквипотенциальными поверхностями нет мгновенной синхронности. Во вторых, эквипотенциальные поверхности (поле) сохраняют всю информацию о движении заряда от момента его “рождения” (t ® - ¥ ) до момента наблюдения t. Запаздывающий потенциал частицы сохраняет в “своей памяти” все ее перемещения в прошлом и будет продолжать “сохранять” все то, что произойдет с частицей в дальнейшем. Запаздывающим потенциалам отвечают потенциалы Льенара-Виехерта, широко используемые в теоретической физике.

Обратимся теперь к описанию потенциала в кулоновской калибровке.

(3.2)

Из приведенных уравнений видно, что скалярный потенциал является мгновенно действующим вопреки Специальной теории относительности. Он удовлетворяет уравнению Пуассона. Чтобы разрешить это противоречие, авторы некоторых учебников утверждают, что кулоновская калибровка рассматривает де покоящиеся заряды. А неподвижные заряды как раз и должны описываться кулоновским потенциалом!

Будем рассуждать логически последовательно. Если заряды действительно неподвижны, тогда как может существовать ток, плотность которого равна j =r v (уравнение (1.2))? Если заряды неподвижны (потенциал f не зависит от времени), тогда по какой причине может меняться во времени электрическое поле неподвижных зарядов E = - gradf в уравнении (1.2)?

Приведенное “объяснение” превратилось в застарелый предрассудок. Учителя навязывают такое объяснение своим ученикам, а те – своим, и это повторяется в каждом поколении!

Мы видим, что, вообще говоря, свойства скалярного потенциала в кулоновской калибровке и в калибровке Лоренца различны (описываются разными уравнениями). Однако в современной электродинамике бытует мнение, опирающееся на теорему о существовании и единственности решения волнового уравнения, что кулоновская калибровка и калибровка Лоренца эквивалентны, поскольку де они дают одинаковые значения электрического и магнитного поля при решении задач электродинамики. Эта эквивалентность закреплена, так называемой, градиентной (калибровочной) инвариантностью. Следовательно, мы сталкиваемся с проблемой: каким (запаздывающим или мгновенно действующим) должен быть скалярный потенциал?

Мы вернемся к этой проблеме. Сейчас мы приведем таблицу, в которой приведены сравнительные признаки, отличающие мгновенно действующие и запаздывающие потенциалы.

Таблица 1

Сравнительные характеристики запаздывающих и мгновенно действующих потенциалов

Запаздывающие потенциалы

Мгновенно действующие

Потенциалы

1. Потенциал в точке наблюдения при движении источника запаздывает. Запаздывание зависит от расстояния до источника потенциала.

1. Потенциал движется синхронно со своим источником (без запаздывания).

2. Поле сохраняет информацию о предшествующем движении источника потенциала.

2. Поле не сохраняет информации о предшествующем движении источника поля.

3. Потенциал описывается уравнением гиперболического типа, например, волновым уравнением (прямое решение).

3. Потенциал описывается уравнением эллиптического типа, например, уравнением Пуассона (прямое решение).

 

4. Параллельное решение неоднородного волнового уравнения

Покажем теперь, что параллельное решение уравнения (1.1) может содержать как запаздывающие потенциалы, так и мгновенно действующие. Для этой цели мы будем искать решение уравнения (1.1) в виде суммы f 2 = u + w; где: u – мгновенно действующий потенциал, а w есть прямое решение некоторого волнового уравнения.

Уравнений, которым может удовлетворять потенциал u, можно выбрать сколь угодно много. Мы выберем следующее уравнение эллиптического типа.

(2.2)

Такое уравнение выбрано для удобства последующего анализа.

Используя выражение (2.2) для потенциала u, мы получим следующее уравнение для потенциала w.

(2.3)

Заметим только, что в соответствии с [2], [3], [4], [5], мы всегда можем подобрать для w такие начальные условия, чтобы параллельное решение f 2 удовлетворяло задаче Коши. В примере работы [2] содержится опечатка.

Рассмотрим теперь, что следует из уравнения для w. Конечно, нам следовало бы прежде найти решение уравнения для u, затем подставить результат в уравнение для w и только затем анализировать уравнение (2.3). Но мы выбрали уравнение для u таким, чтобы обойти эту последовательность операций.

Преобразуем правую часть уравнения, используя уравнение непрерывности для потенциала u

(2.4)

Применяя дважды этот результат ко второй производной по времени в правой части уравнения (2.3), получим:

(2.5)

Итак, принимая во внимание результат (2.5), мы можем записать окончательное выражение для определения потенциала w

(2.6)

Из полученного выражения следуют интересные результаты. Во-первых, заряд, движущийся с постоянной скоростью, не создает полей запаздывающих потенциалов. Во вторых, заряд может их создавать тогда и только тогда, когда он движется ускоренно, т.е. движется с переменной скоростью.

Те же выкладки мы могли бы проделать и для векторного потенциала в калибровке Лоренца. Полученные выводы вполне согласуются с выводами современной электродинамики: только ускоренно движущийся заряд излучает электромагнитную волну. Что касается продольных волн, излучаемых зарядом и переносимых запаздывающим скалярным потенциалом, они рассмотрены [3].

Итак, при v = const запаздывающие потенциалы отсутствуют, и потенциал f 2 = u содержит только мгновенно действующий компонент.

Рассмотрим теперь уравнение для потенциала u. Преобразуем уравнение (2.2), используя замену

Z = (z – vt)/(1-v2/c2)1/2

приведем уравнение (2.6) к следующему виду

(2.7)

Уравнение (2.7) есть уравнение Пуассона (эллиптический тип!) для мгновенно действующего потенциала u. Отсюда всего один шаг до вывода преобразования Лоренца. Запишем теперь выражение для потенциала f 2.

(2.8)

Это решение хорошо известно в релятивистской электродинамике. “Деформация” поверхностей равного потенциала не играет здесь ровно никакой роли. Но по известным причинам его традиционно считают запаздывающим”(!), хотя оно отвечает всем признакам мгновенно действующего решения (см. табл. 1).

Причина простая:

Интересно еще одно следствие существования параллельных решений. Пусть, например, заряд равномерно движется по окружности. Используя уравнения Максвелла в калибровке Лоренца можно, подобрав соответствующее уравнение для потенциала u, найти такое параллельное решение, в котором заряд не излучает электромагнитную энергию при движении по окружности.

 

Заключение

Итак, мы показали, что задача Коши для волнового уравнения не имеет единственного решения. Помимо основного (прямого) решения, существует множество параллельных решений, которые могут содержать помимо запаздывающих и опережающих потенциалов потенциалы других типов, например, мгновеннодействующие.

Этот факт имеет решающее значение при сопоставлении кулоновской калибровки и калибровки Лоренца. В общем случае эти калибровки не эквивалентны (см., например, [5], [7], [7] ).

Вопреки постулату о существовании предельной скорости распространения взаимодействий электродинамика (опирающаяся на лоренц-ковариантную форму уравнений Максвелла) широко использует мгновенно действующие потенциалы. Преобразование Лоренца, как и преобразование Галилея, не может “преобразовывать” мгновенно действующий потенциал в запаздывающий и обратно. Свойства запаздывания или мгновенного воздействия сохраняются полем в любой инерциальной (и неинерциальной) системе отсчета. Они не зависят от того, какое линейное алгебраическое преобразование координат и времени мы используем.

Источники информации:

  1. А.А. Тихонов и Н.Н. Самарский. Уравнения математической физики. - М.: ГИФМЛ, 1954.
  2. В.А. Кулигин, Г.А. Кулигина, М.В. Корнева. Волновое уравнение не имеет единственного решения?!. НиТ, 2002. http://www.n-t.org/tp/ns/vu.htm 
  3. В.А Кулигин., Г.А Кулигина., М.В Корнева. Калибровки и поля в электродинамике. / Воронеж. Ун-т. – Воронеж, 1998. Деп. в ВИНИТИ 17.02.98, № 467 – В98. new-idea.kulichki.net/pp11.htm
  4. V.A Kuligin., G.A Kuligina., M.V Korneva. Analysis of the Lorentz's gauge. Canada, Montreal, 2000. – Apeiron, vol. 7, no 1...2.
  5. В.А. Кулигин, Г.А. Кулигина, М.В. Корнева. Проблемы волновой электродинамики. НиТ, 2002 www.n-t.ru/tp/ns/pve.htm
  6. В.А. Кулигин, Г.А. Кулигина, М.В. Корнева. Безинерциальные заряды и токи. www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/3094.html
  7. В.А. Кулигин, Г.А. Кулигина, М.В. Корнева. Кризис релятивистских теорий. Часть 2, Анализ основ электродинамики НиТ, 2002 www.n-t.ru/tp/ns/krt.htm
Дата публикации: 18 мая 2004
Источник: SciTecLibrary.ru

Вы можете оставить свой комментарий по этой статье или прочитать мнения других в следующих разделах ФОРУМА:
Свернуть Защита интеллектуальной собственности и авторских прав
Диспуты по темам изобретательства. Вопросы по изобретениям, проблемы на пути изобретателей и методы их решения.
Патентование. Все о патентовании изобретений, полезных моделей, промышленных образцов и товарных знаков.
Нерешенные задачи. Здесь идет обсуждение нерешенных задач: безопорный двигатель, вечный двигатель, преодоление гравитации и пр.
Свернуть Точные науки и дисциплины
Дебаты по Теории Относительности Эйнштейна. Все кому не лень хотят опровергнуть Теорию Относительности Эйнштейна. Вам предоставляется слово для аргументации.
Физика, астрономия, математические решения. Физико-математические вопросы, наблюдения, исследования, теории и их решение.
Физика альтернативная. Новые взгляды на физические законы, теории, эксперименты, не вписывающиеся в общепринятые законы физики.
Teхника, узлы, механизмы, электроника и аппаратура. Все про технику, приборы, детали, узлы и механизмы. Электроника, компьютеры, программное обеспечение. Новые технические решения в самых разных областях.
Биология, Генетика, Все о жизни. Генетика и другие вопросы биологии. Их развитие. Медицина. Биотехнологии, агротехника и сельское хозяйство. Эволюционные теории и альтернативные им.
Химия. Вопросы по химическим технологиям, разработкам и применению химических материалов. Химические элементы и их свойства.
Геология, все о Земле и ее обитателях. Геология, метеорология, антропология, сейсмология, атмосферные явления и непознанные эффекты природы.
Свернуть Мозговой штурм
Генератор решений. Здесь Вы можете заработать реальные деньги, помогая решать фирмам, предприятиям и частным лицам те или иные технические задачи, которые перед ними стоят. Те, кто ставят задачи перед участниками должны обозначить гонорар за ее решение и перевести указанную сумму на общий счет генератора.
Головоломки. Если у Вас есть желание поломать голову над интересными логическими задачами - Вам сюда.
Гипотезы. В этой теме идет обсуждение гипотез и предположений, основанных чисто на теории и логике.
Найди ляп! Этот раздел для тех, кто хочет мысленно расслабиться. Он посвящен задачам по поискам ляпов, которые встречаются в литературе, интернете, кино и на телевидении.
Свернуть Взгляд в будущее и настоящее
Глобальные темы. Вопросы касающиеся всех. Глобальные угрозы и злободневные темы современности.
Наука и ее развитие. Все о развитии науки, направлениях и перспективах движения научной мысли и знаний.
Новая Цивилизация. Принципы социального устройства новой цивилизации. Увеличение роли созидательного интеллекта... Отдалённые перспективы развития человечества...
Вопросы без ответов. Этот раздел посвящен вопросам и проблемам, которые до сих пор не решены. Предлагайте свои решения.
Военная стратегия и тактика современных боевых действий. Об особенностях современного военного искусства. Проблемные вопросы теории и практики подготовки вооруженных сил к войне, её планирование и ведение в различных конфликтах на планете.
Свернуть Гуманитарные науки и дисциплины
Философские дискуссии. Диспуты по вопросам жизни, сознания, бытия и иных философских понятий.
Экономика. Вопросы по экономике и о путях развития России и других стран.
Социология, Политология, Психология. В этом разделе обсуждаются вопросы, как отдельных частных исследований данных наук, так и проблема соотношения этих наук с остальными.
Образование. Все об образовании: как учить, кому учить, чему учить и кого учить.
Религия и атеизм. Вопросы религий и атеистические взгляды, религиозные споры.

Хотите разместить свою статью или публикацию, чтобы ее читали все?
Как это сделать - узнайте здесь.

Назад

 
О проекте Контакты Архив старого сайта

Copyright © SciTecLibrary © 2000-2017

Агентство научно-технической информации Научно-техническая библиотека SciTecLibrary. Свид. ФС77-20137 от 23.11.2004.