СТАТЬИ И ПУБЛИКАЦИИ

Вход или Регистрация

ПОМОЩЬ В ПАТЕНТОВАНИИ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФОРУМ Научно-техническая библиотекаНаучно-техническая библиотека SciTecLibrary
 
Cтатьи и Публикации ЗОЛОТЫЕ ИНВАРИАНТЫ ГАРМОНИЧЕСКИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

ЗОЛОТЫЕ ИНВАРИАНТЫ ГАРМОНИЧЕСКИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

© Косинов Н. В.

Контакт с автором: kosinov@unitron.com.ua

Аннотация

Показано, что основное золотое сечение φ=0,618033… является одним из представителей большого семейства золотых сечений. Приведены примеры построения некоторых золотых сечений. Рассмотрены нецелочисленные последовательности, образованные золотой пропорцией. Для таких нецелочисленных последовательностей справедлива рекуррентная формула вида: a(n)=a(n-1)+a(n-2). Эта рекуррентная формула обобщена на семейство числовых гармонических последовательностей. Обобщенное соотношение имеет вид:

a(n)=±k a(n-1)±a(n-2). Золотая пропорция является одним из представителей большого семейства числовых инвариантов гармонических последовательностей и является корнем уравнения X-1/X=± k при k =1. При других значениях k уравнения X±1/X=± k дают семейство золотых инвариантов, которые проявляют такие же свойства, как и золотая пропорция. Золотые инварианты являются константами гармонических последовательностей. Представителями этого класса последовательностей являются числа Фибоначчи и числа Люка.

 

1. Семейство золотых сечений.

Кроме основного золотого сечения φ=0,618033 известно второе золотое сечение [1,2]. Второе золотое сечение вытекает из основного золотого сечения и имеет отношение 44/56. Эта пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций картин удлиненного горизонтального формата [1]. Очевидно первое и второе золотые сечения не исчерпывают всех проявлений золотого сечения. Существует целое семейство золотых сечений. Для получения значений золотых сечений рассмотрим соотношение:

(1)

В этой формуле Ф =1,61803… При отрицательных n получим семейство чисел: 0,61803, 0,78615, 0,8517 и т.д. Первое из них – основное золотое сечение, другие являются степенными функциями основного золотого сечения. На рис.1 приведено семейство золотых сечений и обратные им числа для n= ±1, ±2, ±3, ±4.

Рис.1. Семейство золотых сечений.

Первое золотое сечение представлено отношением 38/62. Его значение φ=0,618033… Значение золотой пропорции Ф1 =1,61803… Второе золотое сечение представлено отношением 44/56 [2]. Его значение φ2 = 0,78615… Значение второй золотой пропорции Ф2 =1,272…Третье золотое сечение представлено отношением 46/54. Его значение φ3 =0,8517… Значение третьей золотой пропорции Ф3 =1,173…Четвертое золотое сечение представлено отношением 47/53. Его значение φ4 =0,8866… Значение четвертой золотой пропорции Ф4 =1,127… и т. д. Таким образом формула (1) дает семейство золотых сечений при отрицательных n и семейство золотых пропорций при положительных n.

На рис.2 приведен пример построения некоторых золотых сечений.

Рис.2. Деление прямоугольника линиями первого, второго и четвертого золотых сечений.

На рис.2 положение линии первого золотого сечения показано пунктиром. Линия второго золотого сечения находится посередине между средней линией прямоугольника и линией первого золотого сечения. Она показана штрих-пунктирной линией. Положение линии четвертого золотого сечения показано жирной сплошной линией. Она находится посередине между средней линией прямоугольника и линией второго золотого сечения. Линия третьего золотого сечения будет находиться в промежутке между линией четвертого золотого сечения и линией второго золотого сечения и разделит этот промежуток так, что его части будут иметь отношение 1:2. В пределе n-ое золотое сечение стремится к числу 1,0000.

Формула с использованием второго золотого сечения

при m=∞ позволяет получить нецелочисленную последовательность Gn. В этой формуле Ф2 =1,272…, φ2 = 0,78615… Фрагмент последовательности Gn приведен в таблице1.

Эта последовательность стремится к целочисленной последовательности, которая представляет собой числа: 4, 5, 7, 9, 11, 14, 18, 23, 29, 37,… Эта последовательность представляет собой комбинацию двух последовательностей. Четные члены являются числами Люка. Нечетные члены - есть числа 4, 5, 9,14,…, представляющие собой обобщенные числа Фибоначчи. Для этой последовательности справедлива рекуррентная формула:

.

2. Нецелочисленные последовательности.

Рассмотрим формулу вида:

(2)

В формула (2) Ф =1,61803…, φ=0,618033… Эта формула порождает нецелочисленную последовательность. Для этой последовательности справедлива рекуррентная формула:

Из формулы (2) при m=0 получим числа, представленные в таблице 2.

Эта последовательность стремится к целочисленной последовательности a(n): 3, 6, 9, 15, 24 … В этом ряду чисел Gn число 0,5 относится к обобщенной золотой пропорции [3,4]. На число 1,309 обратил внимание С.В. Петухов [5]. Он установил, что двойное отношение длин трехзвенных конечностей млекопитающих, птиц и насекомых приближается к величине 1,309. С.В. Петухов назвал величину 1,309 золотым вурфом [5].

При m=1 получим числа, приведенные в табл.3.

Эта последовательность стремится к целочисленной последовательности, которая представляет собой смещенную на один шаг последовательность Люка: 2, 1, 3, 4, 7, 11 …

При m=2 получим числа, приведенные в табл.4.

Эта последовательность стремится к целочисленной последовательности, которая представляет собой числа Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8,13,…

Из таблицы3 и таблицы 4 следует, что между соответствующими членами нецелочисленных последовательностей, порождающих числа Фибоначчи и Люка существует связь посредством константы:

Отношение соответствующих членов последовательности Фибоначчи и смещенной последовательности Люка по мере удаления от начала также стремится к величине 1,170820393...

Отношение (n+1)-го члена смещенной последовательности Люка к n-му члену последовательности Фибоначчи по мере удаления от начала стремится к величине 1,381966...

При m=∞ из формулы (2) получим числа, приведенные в табл.5.

Эта последовательность стремится к целочисленной последовательности, которая представляет собой числа Люка: 2, 1, 3, 4, 7, 11 … Нечетные члены нецелочисленных последовательностей 4,23606…, 11,0901…, 29,0344… и т.д. переходят в обратные им значения 0,23606…, 0,0901…, 0,0344… и т.д. при вычитании целой части. Нечетные члены последовательности 4,23606…, 11,0901…, 29,0344… и т.д. дают ближайшие целые числа 4, 11, 29 и т. д. при вычитании от них обратных значений. Таким же свойством обладает золотая пропорция. Нечетные члены последовательности Gn являются числовыми инвариантами целочисленных последовательностей с рекуррентными свойствами вида: a(n) = ka(n-1) + a(n-2). Эти числовые инварианты являются корнями уравнений X-1/X=k, где k=1, 4, 11, 29,…

Четные члены последовательности 1,000…, 2,61803…, 6,8541… и т.д. дают ближайшие целые числа при добавлении к ним обратных значений. Четные члены 1,000…, 2,61803…, 6,8541… и т.д. переходят в обратные им значения 1,000…, 0,381966…, 0,145898… и т.д. при вычитании их от ближайшего целого числа. Четные члены последовательности являются числовыми инвариантами целочисленных последовательностей с рекуррентными свойствами вида: a(n) = ka(n-1) - a(n-2). Они являются корнями уравнений X+1/X=k, где k=2, 3, 7, 18,…

Числа Gn, приведенные в табл.5, определяются по формуле (2) или по рекуррентной формуле Gn = Gn-1 + Gn-2 и являются членами нецелочисленной последовательности. Эти числа Gn одновременно являются числовыми инвариантами последовательностей a(n)= k a(n-1)±a(n-2), где k = Gn ± 1/Gn. Отношение соседних членов числовых последовательностей по мере удаления от начала стремится к определенным константам. Эти константы являются числовыми инвариантами соответствующих последовательностей. Например, для последовательности 2,3,7,18… справедлива рекуррентная формула a(n)= 3a(n-1)-a(n-2) при a(0)=2 и a(1)=3. Отношение соседних членов этой последовательности по мере удаления от начала стремится к величине 2,61803… Числовой инвариант 2,61803… является корнем уравнения X+1/X=3. Для другой последовательности 2,2,2,2… числовым инвариантом выступает 1,0000, которое является корнем уравнения X+1/X=2. Рекуррентной формулой для этой последовательностиявляется соотношение a(n)= 2a(n-1)-a(n-2) при a(0)=2 и a(1)=2.

В таблице 6 в первом столбце приведены члены нецелочисленной последовательности Gn, взятые из таблицы 5. В таблице приведены, формулы, порождающие константы Gn, а также соответствующие им целочисленные последовательности и их рекуррентные формулы. В последнем столбце табл.6 приведены номера, под которыми последовательности зарегистрированы в энциклопедии Нейла Слоуна [6].

Все константы Gn, приведенные в таблице 6, являются степенными функциями золотой пропорции. Константы Gn - это числовые инварианты последовательностей, которые являются прореженными последовательностями Люка: L(2n) –A005248, L(3n) – A014448, L(4n) –A056854, L(5n) – A001946, L(6n) - A087215, L(7n) - A087281, L(8n) - A087265 , L(9n) - A087287 , и т.д. [7,8].

3. Класс гармонических последовательностей и золотые инварианты.

Числовые инварианты последовательностей с рекуррентными свойствами a(n)= ±k a(n-1)±a(n-2) не ограничиваются числами Gn, приведенными в таблицах 5 и 6. Уравнения X±1/X=±k дают большое количество других числовых инвариантов (констант) при k=0, ±1, ±2, ±3,…[7]. Числовыми инвариантами для последовательностей с рекуррентным свойством a(n)= ±k a(n-1)±a(n-2) являются константы, полученные по формуле:

.

Эти же константы являются корнями уравнений X±1/X=±k [7]. Они обладают замечательными свойствами. Одни из них переходят в обратные им значения при вычитании целой части. Таким же свойством обладает золотая пропорция Ф=1,618033…. (Ф-1=1/Ф). Другие числовые инварианты переходят в обратные им значения при вычитании их от ближайшего целого числа. Таким же свойством обладает золотая пропорция в квадрате Ф2 =2,618033…. (3-Ф2 =1/Ф2). Назовем эти инварианты золотыми инвариантами или золотыми константами числовых последовательностей. Золотые инварианты являются константами числовых последовательностей с рекуррентными свойствами a(n)= ±k a(n-1)±a(n-2). К классу последовательностей с рекуррентными свойствами a(n)= ±k a(n-1)±a(n-2) относятся числа Фибоначчи и числа Люка. Будем называть этот класс последовательностей гармоническими последовательностями. В таблице 7 приведены золотые инварианты, гармонические последовательности и формулы для определения золотых инвариантов и членов гармонических последовательностей для положительных значений k. В последнем столбце табл.7 приведены номера, под которыми последовательности зарегистрированы в энциклопедии Нейла Слоуна.

Общая формула для определения значений золотых инвариантов для положительных k имеет вид: X=(k+sqrt(k^2±4))/2. Общая формула для определения членов гармонических последовательностей имеет вид: a(n)=((k+sqrt(k^2±4))/2)^n+((k-sqrt(k^2±4))/2)^n.

Более подробные сведения о последовательностях, например при k = 7 – 13, можно найти в энциклопедии Нейла Слоуна (A086902, A086903, A086594, A056918 , A087799, A086927, A057076, A001946, A087800, A086928, A078363 [6,8].

В таблице 8 приведены золотые инварианты, гармонические последовательности и формулы для определения золотых инвариантов и членов гармонических последовательностей при отрицательных значениях k.

Общая формула для определения значений золотых инвариантов для отрицательных k имеет вид: X=(-k-sqrt(k^2±4))/2. Общая формула для определения членов гармонических последовательностей в этом случае имеет вид: a(n)=((-k-sqrt(k^2±4))/2)^n+((-k+sqrt(k^2±4))/2)^n.

Золотые константы гармонических последовательностей располагаются попарно вблизи целочисленных коэфициентов k. На рис.3, в качестве примера, показаны семейства гармонических последовательностей, золотые инварианты последовательностей и их попарная (дублетная) группировка вблизи коэфициентов k, для k=±3, ±4, ±5. Расположение золотых инвариантов на числовой оси на рис.3 показано жирными точками. Рядом с золотыми инвариантами показаны соответствующие рекуррентные формулы гармонических последовательностей.

Рис.3. Дублетное расположение золотых инвариантов гармонических последовательностей вблизи коэффициентов k.

По мере увеличения значения k расстояние между золотыми инвариантами последовательностей и коэффициентом kXi ) уменьшается: Xi =Xi – ki ). При этом произведение золотого инварианта на разность между золотым инвариантом и коэффициентом k всегда равно единице для всех последовательностей данного класса: ΔXi Xi =1.

Таким образом, выявлен класс гармонических последовательностей, которые построены по единому принципу. Класс гармонических последовательностей представлен четырьмя подклассами. Подклассы располагаются в соответствующих квадрантах на рис.3. Числа Люка и числа Фибоначчи являются одними из представителей большого класса гармонических последовательностей. Для всего класса гармонических последовательностей, в том числе и для последовательностей Фибоначчи и Люка, справедливо уравнение: ΔXi Xi=1. Для гармонических последовательностей выявлено семейство золотых инвариантов, которые проявляют такие же свойства, как и золотая пропорция.

Источники информации

1. Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Выща школа, 1989. – 143с.

2. Цеков-Карандаш Ц. О втором золотом сечении. Журнал “Отечество”, N10, 1983.- София.

3. Стахов А.П. Коды золотой пропорции. Москва: Радио и связь, 1984.

4. Альберт Тимашев. Обобщенное золотой сечение и теория времени. http://www.astrologer.ru/article/ggstt/ggstt.html

5. Цит. по Цветкову В.Д. Сердце, "золотое сечение" и симметрия. Пущино: ПНЦ РАН, 1997.

6. Neil J.A.Sloane http://www.research.att.com/~njas/sequences/

7. Косинов Н.В. Константы гармонических последовательностей. http://filosof.net/disput/kosinov/kgp.htm

8. Nikolay V. Kosinov. Sequences: A087215, A087281, A087265 , A087287 ,A086902, A086903, A086594, A087799, A086927, A087800, A086928.

Дата публикации: 1 декабря 2003
Источник: SciTecLibrary.ru

Вы можете оставить свой комментарий по этой статье или прочитать мнения других в следующих разделах ФОРУМА:
Свернуть Защита интеллектуальной собственности и авторских прав
Диспуты по темам изобретательства. Вопросы по изобретениям, проблемы на пути изобретателей и методы их решения.
Патентование. Все о патентовании изобретений, полезных моделей, промышленных образцов и товарных знаков.
Нерешенные задачи. Здесь идет обсуждение нерешенных задач: безопорный двигатель, вечный двигатель, преодоление гравитации и пр.
Свернуть Точные науки и дисциплины
Дебаты по Теории Относительности Эйнштейна. Все кому не лень хотят опровергнуть Теорию Относительности Эйнштейна. Вам предоставляется слово для аргументации.
Физика, астрономия, математические решения. Физико-математические вопросы, наблюдения, исследования, теории и их решение.
Физика альтернативная. Новые взгляды на физические законы, теории, эксперименты, не вписывающиеся в общепринятые законы физики.
Teхника, узлы, механизмы, электроника и аппаратура. Все про технику, приборы, детали, узлы и механизмы. Электроника, компьютеры, программное обеспечение. Новые технические решения в самых разных областях.
Биология, Генетика, Все о жизни. Генетика и другие вопросы биологии. Их развитие. Медицина. Биотехнологии, агротехника и сельское хозяйство. Эволюционные теории и альтернативные им.
Химия. Вопросы по химическим технологиям, разработкам и применению химических материалов. Химические элементы и их свойства.
Геология, все о Земле и ее обитателях. Геология, метеорология, антропология, сейсмология, атмосферные явления и непознанные эффекты природы.
Свернуть Мозговой штурм
Генератор решений. Здесь Вы можете заработать реальные деньги, помогая решать фирмам, предприятиям и частным лицам те или иные технические задачи, которые перед ними стоят. Те, кто ставят задачи перед участниками должны обозначить гонорар за ее решение и перевести указанную сумму на общий счет генератора.
Головоломки. Если у Вас есть желание поломать голову над интересными логическими задачами - Вам сюда.
Гипотезы. В этой теме идет обсуждение гипотез и предположений, основанных чисто на теории и логике.
Найди ляп! Этот раздел для тех, кто хочет мысленно расслабиться. Он посвящен задачам по поискам ляпов, которые встречаются в литературе, интернете, кино и на телевидении.
Свернуть Взгляд в будущее и настоящее
Глобальные темы. Вопросы касающиеся всех. Глобальные угрозы и злободневные темы современности.
Наука и ее развитие. Все о развитии науки, направлениях и перспективах движения научной мысли и знаний.
Новая Цивилизация. Принципы социального устройства новой цивилизации. Увеличение роли созидательного интеллекта... Отдалённые перспективы развития человечества...
Вопросы без ответов. Этот раздел посвящен вопросам и проблемам, которые до сих пор не решены. Предлагайте свои решения.
Военная стратегия и тактика современных боевых действий. Об особенностях современного военного искусства. Проблемные вопросы теории и практики подготовки вооруженных сил к войне, её планирование и ведение в различных конфликтах на планете.
Свернуть Гуманитарные науки и дисциплины
Философские дискуссии. Диспуты по вопросам жизни, сознания, бытия и иных философских понятий.
Экономика. Вопросы по экономике и о путях развития России и других стран.
Социология, Политология, Психология. В этом разделе обсуждаются вопросы, как отдельных частных исследований данных наук, так и проблема соотношения этих наук с остальными.
Образование. Все об образовании: как учить, кому учить, чему учить и кого учить.
Религия и атеизм. Вопросы религий и атеистические взгляды, религиозные споры.

Хотите разместить свою статью или публикацию, чтобы ее читали все?
Как это сделать - узнайте здесь.

Назад

 
О проекте Контакты Архив старого сайта

Copyright © SciTecLibrary © 2000-2017

Агентство научно-технической информации Научно-техническая библиотека SciTecLibrary. Свид. ФС77-20137 от 23.11.2004.