СТАТЬИ И ПУБЛИКАЦИИ

Вход или Регистрация

ПОМОЩЬ В ПАТЕНТОВАНИИ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФОРУМ Научно-техническая библиотекаНаучно-техническая библиотека SciTecLibrary
 
Cтатьи и Публикации    Теоретическая физика ПРЕДМЕТНО-ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ НЕПОЛНОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

ПРЕДМЕТНО-ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ НЕПОЛНОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

© Михаил Копылов

Контакт с автором: mihail_kopylov@mail.ru 

Дифференциальные уравнения с граничными условиями обращают на себя внимание некоторой теоретической незавершенностью, проявляющейся в том, что как правило бывает невозможно без дополнения теории назначить физически корректные граничные условия. Тогда как ДУ с начальными условиями не имеют такого свойства, поскольку любые начальные условия являются физически корректными. Таким образом, речь нужно вести о незавершенности не дифференциальных уравнений, а теорий физических явлений, включающих дифференциальные уравнения с граничными условиями. Это, между прочим, впрямую указывает на принципиальную разнородность времени и пространства.

Для начала анализа возьмем уравнение Пуассона для кулоновского взаимодействия. В 1-мерном мире оно выглядит так:

Пусть заряд расположен в начале координат, тогда правая часть уравнения с точностью до умножения на константу имеет вид . Решение получившегося уравнения , где физический смысл параметров таков: и . Не анализируя подробно это решение, сначала отмечу, что классическим решением анализируемого уравнения считается совсем иная функция (с точностью до сомножителя), а именно . Подставив эту функцию в левую часть уравнения Пуассона, найдем, что такое решение получится, если правая часть имеет вид . Данная функция, кроме бесконечного значения плотности заряда при x=0, обращает на себя внимание еще и тем, что для нее. Данное обстоятельство определенно указывает на физическую некорректность такого распределения заряда.

Приведенное выше классическое решение всегда оговаривается граничным условием , которому оно действительно удовлетворяет. Однако найденное выше решение не удовлетворяет этому условию не при каких значениях параметров. Кстати, обсуждаемое условие необходимо для того, чтобы из общего решения уравнения Пуассона с , которое выглядит как , выделить решение . Нетрудно убедиться, что обсуждаемое условие обеспечивается уже при . Что же касается второго параметра, то его обнуление необходимо только для обеспечения заданного вида функции или второго граничного условия: (при , неравном 0 или бесконечности).

Перейдем теперь к анализу решения . Поскольку правая часть уравнения (распределение заряда) при этом решении является четной функцией, то логично предположить, что и физически корректное решение уравнения (поле потенциала) также должно быть четной функцией. Следую этому постулату, необходимо потребовать, чтобы параметры решения удовлетворяли уравнению четности:

Из этого уравнения ясно, что для этогоможет быть любым, а должно удовлетворять уравнению:

,

откуда . Именно это значение данного параметра, как не трудно убедиться, делает решение уравнения четным. Отсюда следует, что только граничное условие для этого уравнения является физически корректным, так как (необходимо и достаточно)выделяет физически корректное решение уравнения. Что же касается второго параметра решения, то он не влияет на физическую корректность решения и является, по-видимому, следствием произвольности начала отсчета потенциала. К слову сказать, для уравнения, разобранного перед этим, также может быть истолкован как обеспечивающий четность решения.

Перейдем теперь к анализу уравнения Пуассона с правой частью в виде константы. Его общее решение находится легко: . Правая часть этого уравнения имеет интересное свойство: она не изменяется при любых преобразованиях системы координат. Возьмем из этих преобразований простейшее – преобразование смещения (x=x+a) и примерим его на решение:

откуда получаем

Данное система уравнений не имеет решений независимо от , но при дает . Иначе говоря, разбираемое уравнение в общем случае не имеет ни одного физически корректного решения, кроме при . Означает ли это, что в природе вообще не может иметь места равномерное распределение заряда, кроме его отсутствия? Или где-то в рассуждениях допущена ошибка?

Скорее всего второе. Мы действительно “перегнули палку”, потребовав от явной не константы наличия инвариантности, которую имеет только константа – относительно смещения на любое расстояние. Охладим свой пыл и потребуем от решения только четности – этим свойством константа также обладает. Тогда получим уравнение:

,

откуда , независимо от значения . Поступив таким образом, мы разрешили полученный выше парадокс о физической невозможности равномерного распределения заряда в пространстве.

Обсудим требование о сохранении в решении уравнения (поле потенциала) всей той инвариантности, которую имеет правая часть уравнения (распределение заряда) с более общих позиций. Относительно четности и нечетности легко доказать, что первая производная превращает четную функцию в четную и наоборот. Вторая же производная, которая и входит в уравнение Пуассона, сохраняет четность и нечетность исходной функции, поскольку является двукратным взятием производной (из четной получают нечетную, а затем нечетной четную). Однако инвариантность смещения, как стало ясно из анализа уравнения с правой частью в виде константы, после взятия производной не сохраняется (в общем случае, то есть при любом значении смещения). Это, по-видимому, и является причиной того, что при интегрировании (решении) ДУ инвариантность, соответствующая инвариантности правой части, не получается автоматически.

Дата публикации: 18 августа 2003
Источник: SciTecLibrary.ru

Вы можете оставить свой комментарий по этой статье или прочитать мнения других в следующих разделах ФОРУМА:
Свернуть Защита интеллектуальной собственности и авторских прав
Диспуты по темам изобретательства. Вопросы по изобретениям, проблемы на пути изобретателей и методы их решения.
Патентование. Все о патентовании изобретений, полезных моделей, промышленных образцов и товарных знаков.
Нерешенные задачи. Здесь идет обсуждение нерешенных задач: безопорный двигатель, вечный двигатель, преодоление гравитации и пр.
Свернуть Точные науки и дисциплины
Дебаты по Теории Относительности Эйнштейна. Все кому не лень хотят опровергнуть Теорию Относительности Эйнштейна. Вам предоставляется слово для аргументации.
Физика, астрономия, математические решения. Физико-математические вопросы, наблюдения, исследования, теории и их решение.
Физика альтернативная. Новые взгляды на физические законы, теории, эксперименты, не вписывающиеся в общепринятые законы физики.
Teхника, узлы, механизмы, электроника и аппаратура. Все про технику, приборы, детали, узлы и механизмы. Электроника, компьютеры, программное обеспечение. Новые технические решения в самых разных областях.
Биология, Генетика, Все о жизни. Генетика и другие вопросы биологии. Их развитие. Медицина. Биотехнологии, агротехника и сельское хозяйство. Эволюционные теории и альтернативные им.
Химия. Вопросы по химическим технологиям, разработкам и применению химических материалов. Химические элементы и их свойства.
Геология, все о Земле и ее обитателях. Геология, метеорология, антропология, сейсмология, атмосферные явления и непознанные эффекты природы.
Свернуть Мозговой штурм
Генератор решений. Здесь Вы можете заработать реальные деньги, помогая решать фирмам, предприятиям и частным лицам те или иные технические задачи, которые перед ними стоят. Те, кто ставят задачи перед участниками должны обозначить гонорар за ее решение и перевести указанную сумму на общий счет генератора.
Головоломки. Если у Вас есть желание поломать голову над интересными логическими задачами - Вам сюда.
Гипотезы. В этой теме идет обсуждение гипотез и предположений, основанных чисто на теории и логике.
Найди ляп! Этот раздел для тех, кто хочет мысленно расслабиться. Он посвящен задачам по поискам ляпов, которые встречаются в литературе, интернете, кино и на телевидении.
Свернуть Взгляд в будущее и настоящее
Глобальные темы. Вопросы касающиеся всех. Глобальные угрозы и злободневные темы современности.
Наука и ее развитие. Все о развитии науки, направлениях и перспективах движения научной мысли и знаний.
Новая Цивилизация. Принципы социального устройства новой цивилизации. Увеличение роли созидательного интеллекта... Отдалённые перспективы развития человечества...
Вопросы без ответов. Этот раздел посвящен вопросам и проблемам, которые до сих пор не решены. Предлагайте свои решения.
Военная стратегия и тактика современных боевых действий. Об особенностях современного военного искусства. Проблемные вопросы теории и практики подготовки вооруженных сил к войне, её планирование и ведение в различных конфликтах на планете.
Свернуть Гуманитарные науки и дисциплины
Философские дискуссии. Диспуты по вопросам жизни, сознания, бытия и иных философских понятий.
Экономика. Вопросы по экономике и о путях развития России и других стран.
Социология, Политология, Психология. В этом разделе обсуждаются вопросы, как отдельных частных исследований данных наук, так и проблема соотношения этих наук с остальными.
Образование. Все об образовании: как учить, кому учить, чему учить и кого учить.
Религия и атеизм. Вопросы религий и атеистические взгляды, религиозные споры.

Хотите разместить свою статью или публикацию, чтобы ее читали все?
Как это сделать - узнайте здесь.

Назад

 
О проекте Контакты Архив старого сайта

Copyright © SciTecLibrary © 2000-2017

Агентство научно-технической информации Научно-техническая библиотека SciTecLibrary. Свид. ФС77-20137 от 23.11.2004.