СТАТЬИ И ПУБЛИКАЦИИ

Вход или Регистрация

ПОМОЩЬ В ПАТЕНТОВАНИИ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФОРУМ Научно-техническая библиотекаНаучно-техническая библиотека SciTecLibrary
 
Cтатьи и Публикации ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЦЕЛЫХ И РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЦЕЛЫХ И РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

© Недосекин Юрий Андреевич

Контакт с автором: meson@inetcomm.ru

Из общего алгоритма получены новые признаки делимости целых и рациональных чисел на любой целый или рациональный делитель, не равный нулю. Рассмотрим сначала признаки делимости целых положительных чисел. Для отрицательных целых чисел признаки делимости будут теми же самыми, поскольку для определения признака делимости используется только абсолютная величина данного числа. Целое число запишем в виде , где – произвольное целое число, не равное нулю; m-значное целое число, , N – множество натуральных чисел. Число b в числе a смещено влево на m десятичных разрядов, т.е.

, (1)

где – целая часть от деления, . Целочисленный n-значный делитель p<a , . Считаем, что a делится на p, если результатом деления является целое число. Введем понятие редукции числа a, определяемой по формуле

, (2)

где k – некоторый целочисленный коэффициент редукции. Признаки делимости целого числа на целочисленный делитель определяются следующей теоремой.

Теорема 1. Целое число делится без остатка на целочисленный делитель, если на этот делитель делится без остатка редукция данного числа.

Доказательство. Пусть число a и его редукция r делятся без остатка на делитель p, тогда запишем

, (3)

где . Вычитая в (3) одно равенство из другого, получим

(4)

Правая часть равенства (4) будет целочисленной, если 10mk=lp и l – целое, откуда находим коэффициент редукции

(5)

Из равенств (3) ¸ (5) вытекает доказательство теоремы.

Для одного и того же делителя p и постоянного значения m можно по формуле (2) образовать цепочку редукций, в которой для каждой новой редукции за число bc принимается предыдущая редукция. Для отрицательных значений k редукция r может оказаться отрицательной и если она используется для образования новой редукции, то знак “–” относится к обеим числам b и c. Из формул (1) и (2) следует: цепочка редукций является конечной для и бесконечной для , при число bc переходит само в себя. Количество разрядов m числа c можно выбрать любым при условии , что c<a . При образовании редукции необходимо следить за тем, чтобы при взятом значении m коэффициенты k редукции из (5) были подсчитаны при этом же значении m.

Пусть задано начальное число , тогда для делителя p и коэффициента редукции k существует цепочка редукций:

(6)

– целая часть, для и , (7)

Для конечной цепочки редукций процесс вычисления закончится, когда для вновь образованной редукции будет выполнено неравенство , откуда с учетом (7) следует . В бесконечной цепочке редукций для некоторых k<0 возможно периодическое повторение нескольких редукций. Такие цепочки также будем считать конечными, т.к. процесс вычисления редукций зацикливается на нескольких повторяющихся редукциях.

Из равенства (5) следует независимость коэффициента редукции от чисел b и c, следовательно для одного и того же делителя p и некоторого фиксированного коэффициента редукции k = k0 , проверяется делимость произвольного целого числа в соответствии с приведенной выше теоремой 1. Если из (5) выбрать некоторый фиксированный коэффициент редукции k = k0 , то все множество коэффициентов редукции, определяемых в (5), можно выразить формулой

, (8)

которая проще для использования. Число c в (1) имеет m десятичных разрядов, а делитель p имеет n разрядов; m и n могут быть разными, но для практики удобнее когда m = n . Наименьшие неотрицательные значения k из (5) при постоянных m и p будем называть начальными коэффициентами k0 редукции, которые для являются наименьшими неотрицательными вычетами чисел по модулю p, определяемыми из равенства , где l – частное, а – остаток от деления на p :

, , (9)

Если известно, что число a делится на p, то из формул (4) и (5) результат деления можно записать в виде

, (10)

где j вычисляется по формуле (3). Для цепочки из s редукций, определяемых в (6) и (7), результат деления a на p запишется в виде

, (11)

где jt – результат деления редукции rt на p, числа bn (n ³ 1) определяются из (7), , l определяется из (5) при известном коэффициенте k редукции для любых p, если же и k ³ 0, то l можно определить также и из (9).

Проиллюстрируем образование цепочки редукций на примере. Возьмем число , которое делится на p = 7 (952 : 7 = 136). Выберем m = 1, из (9) вычислим коэффициент редукции . Взятое число , где . Цепочку редукций строим по формулам (6) и (7) с учетом чисел :

952® 3× 95+2 = 287® 3× 28+7 = 91® 3× 9+1 = 28® 3× 2+8 = 14® 3× 1+4 = 7

Подчеркнутые части чисел являются числами b . Получили цепочку из s = 5 редукций, каждая из которых делится на 7. Имеем: . Результат деления 952 : 7 можно вычислить по формуле (11), в которой t=1, 2,…, s , выберем t = s = 5 , l = [10 / 7] = 1 , jt = rt / 7 = 7 / 7 = 1 :

952 : 7 = 1× (95 + 28 + 9 + 2 + 1) + 1 = 136

Все выше изложенное можно применить и к рациональным числам, представленным в виде конечных десятичных дробей. Числа a, c, p, r, k, k0, l могут быть как целыми, так и конечными десятичными дробями; i, j – любые рациональные числа; числа b – только целые; ; m определяет количество десятичных разрядов в целой части числа c. Результатом деления a на p может быть как целое число, так и конечная или бесконечная десятичная дробь. Для целочисленных a и p, когда результат их деления – целое число, признаки делимости определяются теоремой 1, обобщением которой является следующая теорема.

Теорема 2. Пусть каждое из чисел a и p является либо целым, либо конечной десятичной дробью. Результатом деления числа a на p является целое число, конечная или бесконечная десятичная дробь, если результатом деления редукции r числа a на p также является соответственно целое число, конечная или бесконечная десятичная дробь.

Доказательство теоремы такое же, что и для теоремы 1, только некоторые числа в (3) ¸ (5) могут быть как целыми, так и десятичными дробями. Определенное при доказательстве теоремы равенство (5) в этом случае позволяет выбрать одно из чисел k, l либо целым, либо в виде конечной десятичной дроби, при этом по-прежнему l может быть как положительным, так и отрицательным. Для случая равенства (9) также можно использовать, считая l целым положительным всегда, а остаток может быть как целым, так и конечной десятичной дробью.

Дата публикации: 2 июня 2003
Источник: SciTecLibrary.ru

Вы можете оставить свой комментарий по этой статье или прочитать мнения других в следующих разделах ФОРУМА:
Свернуть Защита интеллектуальной собственности и авторских прав
Диспуты по темам изобретательства. Вопросы по изобретениям, проблемы на пути изобретателей и методы их решения.
Патентование. Все о патентовании изобретений, полезных моделей, промышленных образцов и товарных знаков.
Нерешенные задачи. Здесь идет обсуждение нерешенных задач: безопорный двигатель, вечный двигатель, преодоление гравитации и пр.
Свернуть Точные науки и дисциплины
Дебаты по Теории Относительности Эйнштейна. Все кому не лень хотят опровергнуть Теорию Относительности Эйнштейна. Вам предоставляется слово для аргументации.
Физика, астрономия, математические решения. Физико-математические вопросы, наблюдения, исследования, теории и их решение.
Физика альтернативная. Новые взгляды на физические законы, теории, эксперименты, не вписывающиеся в общепринятые законы физики.
Teхника, узлы, механизмы, электроника и аппаратура. Все про технику, приборы, детали, узлы и механизмы. Электроника, компьютеры, программное обеспечение. Новые технические решения в самых разных областях.
Биология, Генетика, Все о жизни. Генетика и другие вопросы биологии. Их развитие. Медицина. Биотехнологии, агротехника и сельское хозяйство. Эволюционные теории и альтернативные им.
Химия. Вопросы по химическим технологиям, разработкам и применению химических материалов. Химические элементы и их свойства.
Геология, все о Земле и ее обитателях. Геология, метеорология, антропология, сейсмология, атмосферные явления и непознанные эффекты природы.
Свернуть Мозговой штурм
Генератор решений. Здесь Вы можете заработать реальные деньги, помогая решать фирмам, предприятиям и частным лицам те или иные технические задачи, которые перед ними стоят. Те, кто ставят задачи перед участниками должны обозначить гонорар за ее решение и перевести указанную сумму на общий счет генератора.
Головоломки. Если у Вас есть желание поломать голову над интересными логическими задачами - Вам сюда.
Гипотезы. В этой теме идет обсуждение гипотез и предположений, основанных чисто на теории и логике.
Найди ляп! Этот раздел для тех, кто хочет мысленно расслабиться. Он посвящен задачам по поискам ляпов, которые встречаются в литературе, интернете, кино и на телевидении.
Свернуть Взгляд в будущее и настоящее
Глобальные темы. Вопросы касающиеся всех. Глобальные угрозы и злободневные темы современности.
Наука и ее развитие. Все о развитии науки, направлениях и перспективах движения научной мысли и знаний.
Новая Цивилизация. Принципы социального устройства новой цивилизации. Увеличение роли созидательного интеллекта... Отдалённые перспективы развития человечества...
Вопросы без ответов. Этот раздел посвящен вопросам и проблемам, которые до сих пор не решены. Предлагайте свои решения.
Военная стратегия и тактика современных боевых действий. Об особенностях современного военного искусства. Проблемные вопросы теории и практики подготовки вооруженных сил к войне, её планирование и ведение в различных конфликтах на планете.
Свернуть Гуманитарные науки и дисциплины
Философские дискуссии. Диспуты по вопросам жизни, сознания, бытия и иных философских понятий.
Экономика. Вопросы по экономике и о путях развития России и других стран.
Социология, Политология, Психология. В этом разделе обсуждаются вопросы, как отдельных частных исследований данных наук, так и проблема соотношения этих наук с остальными.
Образование. Все об образовании: как учить, кому учить, чему учить и кого учить.
Религия и атеизм. Вопросы религий и атеистические взгляды, религиозные споры.

Хотите разместить свою статью или публикацию, чтобы ее читали все?
Как это сделать - узнайте здесь.

Назад

 
О проекте Контакты Архив старого сайта

Copyright © SciTecLibrary © 2000-2017

Агентство научно-технической информации Научно-техническая библиотека SciTecLibrary. Свид. ФС77-20137 от 23.11.2004.