СТАТЬИ И ПУБЛИКАЦИИ

Вход или Регистрация

ПОМОЩЬ В ПАТЕНТОВАНИИ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФОРУМ Научно-техническая библиотекаНаучно-техническая библиотека SciTecLibrary
 
Cтатьи и Публикации ГЛОБАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА-2

ГЛОБАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА-2

© Копылов Михаил Юрьевич

Контакт с автором: mihail_kopylov@mail.ru

Аннотация 

В первой части данной статьи было дано наиболее общее определение фрактала как непрерывной недифференцируемости.

Интересно, что недифференцируемые функции – это и есть революции, это и есть переходы количества в качество.

С той лишь оговоркой, что революции, к счастью, не происходят непрерывно. Но в связи с этим исследование фракталов не теряет актуальности, поскольку появляется новая идея: эволюция не как непрерывная дифференцируемость, а как непрерывная недифференцируемость.  

Фрактал как непрерывная недифференцируемость.  

В первой части данной статьи было дано наиболее общее определение фрактала как непрерывной недифференцируемости.

Интересно, что недифференцируемые функции – это и есть революции, это и есть переходы количества в качество.

 

Почему же раньше на это не обращалось внимания?

 

С той лишь оговоркой, что революции, к счастью, не происходят непрерывно. Но в связи с этим исследование фракталов не теряет актуальности, поскольку появляется новая идея: эволюция не как непрерывная дифференцируемость, а как непрерывная недифференцируемость.  

Традиционно считается, что всякий фрактал может быть получен из гладкого геометрического объекта (=непрерывной дифференцируемости) путем добавления в него изломов. Таким образом, всякому фракталу соответствует некоторая процедура заполнения изломами (точками), то есть реализация отношения «между». И причем преобразуемый объект должен быть ограничен по всем измерениям. Например, это может быть отрезок или замкнутая  кривая. А что если заполнять неограниченнный объект?  

Есть и еще одно обязательное условие фрактальности: фракталы – это обязательно сходящиеся ряды, построенные не из числовых, а геометрических операций. Одной из таких операций и является добавление излома.  

Однако из литературы по фракталам следует, что фракталы образуются не только изломами, но еще и удалениями (вырезаниями). А в общем случае – заменами. В результате вырезания вводится прерывность уже не в производную, а в саму функцию. 

Понятие и модели ННН  

Непрерывная недифференцируемая неизменность – это аналог прямой в мире фракталов (=фрактальная прямая). В основе получения таких объектов может быть положено следующее соображение: чтобы функция была неизменной, достаточно, чтобы в каждой точке ее производная имела бы 2 противоположных и равных значения (хотя возможно, чтобы они по всей области определения и не были равными). Так заодно получается и недифференцируемость.  

Такой объект может быть получен сжатием графиков функций.

Например, если сжать пилообразную функцию, тогда получится в производной два значения на всей области определения: -A и A.  

Сжатые и растянутые синусоиды тоже являются моделями (а точнее - реализациями) непрерывной недифференцируемой неизменности. Но они отличаются от первого примера тем, что в каждой точке они имеют бесконечное количество значений, заполняющих интервал от –1 до +1.  

В качестве сжимаемого или растягиваемого объекта можно взять так же и косинусоиду. И здесь возникает следующая проблема. И синусоида, и косинусоида вписываются в полосу от y=-1 до y=+1. Поэтому, когда их сжимают, то получается, вроде бы, что их становится невозможно друг от друга отличить. Но отличить их необходимо, так как в противном случае невозможно говорить о дифференцировании и интегрировании таких функций, поскольку, косинусоида, производная синусоиды, становится неотличимой от последней. Таким образом, для сжатых (да и растянутых, наверно, тоже?) функций необходимо какое-то новое представление, которое отличало бы такие функции друг от друга.

Не трудно заметить: если синусоиду сжимать к точке х=0 (полюс сжатия), то в этой точке значение функции и сохранится нулем. (и никаких других значений не приобретет) Если к этой же точке сжимать косинусоиду, то значение в ней сохранится не нулем, а 1! Не усматривается ли здесь какого-либо подхода к новому представлению непрерывных недифференцируемостей?

Что же касается других точек, то значение в них, даже в процессе сжатия, будет пробегать (и причем периодически) весь интервал от –1 до +1, и затем обратно. Вот вам и новое представление! Значения функции будут иметь во всякой точке главное значение, и поэтому их пробегание по всему интервалу значений будет отличаться по фазе. Главное значение определяется функцией-прототипом и расположением полюса сжатия (или растяжения).

Процедура сжатия и растяжения графиков, не правда ли, связана с понятием непрерывности. Ведь при этом тоже происходит заполнение (или разрежение) некоего интервала числовой оси.

Чисто формально функция сжатой синусоиды получается как предел функции синус при стремлении циклической частоты к бесконечности. И этот предел не существует. Но зато существует предел синуса при стремлении циклической частоты к 0! Который равен 0. Но в том-то все и дело, что если растягивать синусоиду графически, то такого результата не получается. Синусоида, сколько будучи не растягиваемой, не превратится в прямую y=0, а будет занимать все ту же полосу от y=-1 до y=+1. Однако верно, что производная ее будет приближаться к y=0! Намного интереснее будет при сжатии синусоиды. Производная будет увеличиваться, да, и в пределе до бесконечности. Но по модулю! А знак ее будет неопределенным, то ли плюс, то ли минус. И при этом в каждой точке значения такой функции будут охватывать весь интервал значений от –бесконечности до +бесконечности.  

При растяжении графиков получается еще более интересная вещь, чем при сжатии. График растянутой синусоиды также занимает полосу от у=-1 до у=+1, но в отличие от последнего, плотность графика во (всей) этой области равна не бесконечности, а 0. Это можно интерпретировать как отсутствие каких-либо значений функции в любой точке. Иными словами, растяжение, как и вырезание, разряжает график. Можно даже сказать, что при сжатии мы получаем 2-хмерную 1-мерную кривую, а при растяжении – 0-мерную 1-мерную кривую. Но между тем в математике уже давно решен этот вопрос – размерность фракталов объявлена нецелой, причем для 1-го типа (изламывающего) меньшей, чем размерность исходных непрерывных объектов, а для 2-го типа (вырезающего) – меньше размерности исходного объекта. Все это подтверждает тот факт, что сжатие и растяжение графиков тоже дает фрактальные объекты.

В завершение замечу, что функций, имеющих в среднем (по периоду) (или по некоторому интервалу, то есть даже и непериодических) нулевое значение (а именно это требуется, чтобы такая функция была прообразом производной ННН), существует великое множество. Это существенно расширяет множество реализаций фрактальной прямой.

Можно так же себе представить многополюсное сжатие-растяжение. Там будет еще интересней.

Растянутая синусоида отличается от сжатой тем, что в 1-ой наблюдается следующая закономерность: чем ближе точка находится к полюсу сжатия, тем больше периодов имеет спектр значений функции в ней. С другой стороны, в любой точке число периодов – бесконечность, поэтому это незаметно. Не так для растянутой. Для растянутой все наоборот: чем ближе к полюсу, тем меньше периодов. Причем в непосредственной близости от полюса число периодов приближается к нулю (и плавно увеличивается до бесконечности при удалении от полюса). Поэтому это заметно.  

Понятие «прерывная недифференцируемость»  

Разветвление и светвление функций – не это ли модель прерывной недифференцируемости?

Если же вообразим себе такую функцию, спектр значений производной которой изменяется так:

   

То это и будет модель прерывной дифференцируемости.  

Интересно, что эта фигура (треугольник Ван-дер-Вардена, фрактал) в декартовой СК (более) значна, чем в полярной.  

Аналог изменяемости (кривизны) для фракталов

Интересно, что эта фигура (треугольник Ван-дер-Вардена, фрактал) топологически эквивалентна окружности. Что получится, если ее развернуть? (а точнее – размкнуть и развернуть)

Верно ли, что длина снежинки Коха бесконечна?

В самом деле, длина ломаной, устилающей всю плоскость, стремится к бесконечности. Но ведь снежинка Коха не устилает всю плоскость.

Снежинка Коха демонстрирует иной (чем при сжатии и графиков, и растяжении тоже. Растяжение, кстати, аналогично вырезанию кусков) способ получения фракталов из обычных (непрерывных) геометрических фигур – добавление изломов, а точнее – заполнение изломами. Суммарно: (пошаговой) модификацией производной.

Но можно себе представить и комбинированное преобразование исходного объекта – изламывающе-вырезающего. И это будет аналогично многополюсному сжатию-растяжению. Эта идея первоначально возникает, когда задумываешься о способе и методами изламывания и вырезания получить модели фрактальных прямых. Но затем понимаешь, что если цередовать изламывание в одну сторону с издамыванием в другую, то тогда и получишь фрактальные прямые. Причем без комбинирования методов. На периодических кривых мы такое чередование имеем как бы автоматически.

Таким образом мы преодолеваем (уже появившуюся было) иллюзию (что методами изламывания как раз и получаются фрактальные кривые). Ибо результат зависит от того, делаются ли изломы всегда в одну сторону.

Но что можно сказать по этому вопросу, если мы используем метод вырезания? Ведь здесь нет, вроде бы, аналогов той и другой сторон. Но ведь есть же операция вставки! Ее и следует признать аналогом излома в другую сторону. Но операция вырезания имеет специфику перед изломом. Ведь чтобы вставлять, нужно иметь, куда вставлять. То есть пустое место.Чтобы получить это пустое место, можно, например, вырезать. А это и есть создание прерывности (вместо непрерывности, разумеется). В результате этого обнаруживается еще один метод получения фракталов – разрывание. Которое может быть осуществлено путем комбинирования излома с вырезанием. Например, путем деформации изгиба при отсутствии прочности растяжения. (Это и есть чистый излом, без растяжения (=вставки), как в кривой Коха)

Далее, вместо троичного деления, как в кривой Коха, можно использовать двоичное деление, например:  

Но тогда, как выясняется, и потребуется использовать разрыв. Вот таким образом:

Что видим в результате? Что (с виду) троичное деление при образовании кривой Коха – это фактически четверичное деление. Потому что из одного участка получается 4, а не 3 участка.

Итак, чистый излом – это и есть излом с разрывом. То есть излом без вставки. А не такой, который до сих пор считался просто изломом – в кривой Коха. В которой он есть (на самом деле) излом со вставкой.

Таким образом, выход кривой Коха во второе измерение (и в то же время как бы не выход, то есть невидимый выход) получается за счет того, что излом здесь совмещается со вставкой в Ось, то есть корректировкой (путем излома) еще и СК (системы координат). А все потому, что деформация здесь незаметно совмещается с растяжением. Модификация производной – с модификацией оси (СК) отображения функции.

А что получится, если этого не делать?  

Короче говоря: изгиб прямой не позволяет ей оставаться в той же размерности.

Поворот – это и есть (в производной) исчезновение (в другое измерение).

Виды континуума (непрерывности)

Если заполнять (по какому-то алгоритму) ось точками, то в пределе что получится? Ось. Причем, казалось бы, независимо от алгоритма.

Так результат этой процедуры и есть, что ли, фрактал? А разве не равна его размерность 1, а не меньше 1?

Нетрудно доказать теорему: между 2-мя рациональными числами существует 3-ье рациональное число.(= не существует такой пары рациональных чисел, между которыми не найдется другого рационального числа). Например, на том основании что если существуют рациональные числа a и b, то их среднее арифметическое и является тоже рациональным числом находится между ними, то есть a < (a+b)/2 < b

Но в пределе продолжение этого процесса заполнения даст не просто числовую ось, а рациональную числовую ось, то есть числовую ось, в которой есть иррациональные «пустоты». Иначе говоря, понятие непрерывности неабсолютно! Самая первая непрерывность – рациональная. (ибо целым числам не присуще указанное выше свойство) Но она – не последняя. Ибо для любого иррационального числа найдется пара рациональных чисел, между которыми оно находится.

Вывод? Все зависит от процедуры нахождения между. А разве это не в любом случае среднее арифметическое? Впрочем, можно и среднее геометрическое.

Так, уже просто иррациональные числа попадают на числовую ось в результате интерполяции средним геометрическим. Но не все, а только корни квадратные.  

Кстати, интерполяцию можно производить не только средним арифметическим и средним геометрическим. Но и средним, основанным на суперстепени. А также на сверхсверхстепени, и так далее, и так далее. Хотя уже первое я себе даже представить не могу. Впрочем, представить могу, а вот пощупать  - уже нет. Очевидно, на таких функциях и основана математика будущего.

Быть  может, как раз в результате применения этих способов интерполяции и удастся получить трансцендентные числа?  

Казалось бы, при заполнении оси за счет среднего арифметического она заполняется двоичными дробями! Чтобы она заполнилась десятичными, нужно делить интервал сразу на 10 частей 9-ью точками. Но поскольку всякому десятичному числу может быть приведено в соответствие равное ему двоичное, то эти процедуры заполнения эквивалентны.

Поскольку в этой процедуре всякий интервал делится на равные отрезки, то можно сказать, что такое заполнение основано тоже на операции среднего арифметического. Но только расширенного среднего арифметического, поскольку делится интервал не на 2, а 10 отрезков. В связи с этим кажется странным, что при таком заполнении возникнут также и иррациональные числа, поскольку всякое иррациональное число отображаемо десятичным числом. Хоть и бесконечным, ну и пусть, ведь процедура заполнения (оси-непрерывности) тоже бесконечна!

Итак, несмотря на различие рассматриваемых процедур заполнения, результаты получаются одинаковыми. И причем независимо от основания системы счисления, ведь всякое иррациональное число также отображаемо и двоичным числом (хоть и бесконечным).

А если, например, заполнять ось за счет среднего геометрического? Тогда ось заполнится следующей последовательностью:  

(2, 3) -> (2, 6**(1/2), 3) -> (2, 2**(3/4)*3**(1/4), 6**(1/2), 2**(1/4)*3**(3/4), 3) и т.д.  

Существует ли взаимно-однозначное соответствие между этой последовательностью и последовательностью (всех) десятичных, например, чисел?

Традиционно считается, что для мнимых чисел не находится места на числовой прямой между двумя действительными. Они впервые начинают «выпирать» во 2-ое измерение.

Однако мнимые числа тоже возникнут при заполнении оси средними геометрическими. Но только разных по знаку чисел. Поэтому неясно, почему они помещаются во 2-ое измерение?

Кроме того, если они помещены во 2-ом измерении, то попадут ли они на одну ось?

Ведь среднее геометрическое смещено по отношению к среднему арифметическому в сторону меньших (по модулю) чисел.

Исходя из этих соображений: если брать только sqrt(A*(-A)), то поскольку (-A+A)/2=0, должно получаться, что i*A < 0! Причем чем больше А, тем меньше i*A.  

До сих пор мы обсуждали заполнение отрезка. Но как заполнить прямую? Для этого потребуется еще одна операция – эктраполяция, причем  как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения.

Если интерполяция легко делается за счет среднего арифметического (а можно и за счет среднего геометрического или какого-нибудь еще среднего), то экстраполяцию можно совершать прибавлением числа или умножением на число. Большего единицы? Как бы то ни было, ясно, что и здесь существует множество разных процедур. Также порождающих разные типы непрерывности. Или чего-то другого?

Два способа отображения чисел:

Кроме привычного унарного позиционного отображения числа существует еще и алгебраическое - в виде выражения. Например a+b*i.  

Использование алгебраического способа отображения числа нередко позволяет бесконечные отображения превращатьв конечные. Так, просто иррациональные числа, имеющие в традиционной системе счисления бесконечное отображение, получаются в виде конечного числа, если использовать в алгебраическом отбражениии знак радикала. Но как такое отображение получить для трансцендентных (поистине иррациональных) чисел?  

Кроме того, в привычном позиционом отображении можно изменить основание системы счисления (ССч). Например, а если сделать основание ССч не 10, а 10**(-1)? Что тогда произойдет с отображением бесконечных десятичных дробей? (и чисел) Станет ли конечной их дробная часть? А целая – неужели станет бесконечной?

А что если основание системы счисления (ССч) сделать не целым и даже не рациональным? Ясно, что в такой ССч иррациональные числа (по крайней мере некоторые) будут отображаться конечно. А рациональные – бесконечно?  

Почему десятичная дробь – десятичная? Да не потому, что она дробь. А потому что она – десятичное число, то есть число с основанием (позиционной системы счисления)10. То есть вернее различать не обыкновенные дроби и десятичные, а обыкновенные и позиционные. Но что такое позиционное отображение числа? Это же скрытый многочлен!

Таким образом, и позиционное отображение числа – это тоже, в сущности, алгебраическое. В котором все операции закодированы в структуре отображения. После этого становится понятно, что позиционные системы счисления могут основаны и на функциях другого типа.

Если величины отображены в позиционной системе, то их легко сравнивать.  

При пристальном взгляде удается понять, что позиционное отображение – это скрытый многочлен. Таким образом, и позиционное отображение числа – тоже, в сущности, алгебраическое. В котором все операции закодированы в структуре отображения. Вследствие этого становится понятно, что позиционные системы счисления могут основаны и на функциях другого типа.

И тем не менее существуют и другие позиционные  системы – основанные на других операциях. Например, где вместо сложения – умножение, вместо умножения – возведение в степень, а вместо возведения в степень – возведение в суперстепень.  

Дата публикации: 24 марта 2003
Источник: SciTecLibrary.ru

Вы можете оставить свой комментарий по этой статье или прочитать мнения других в следующих разделах ФОРУМА:
Свернуть Защита интеллектуальной собственности и авторских прав
Диспуты по темам изобретательства. Вопросы по изобретениям, проблемы на пути изобретателей и методы их решения.
Патентование. Все о патентовании изобретений, полезных моделей, промышленных образцов и товарных знаков.
Нерешенные задачи. Здесь идет обсуждение нерешенных задач: безопорный двигатель, вечный двигатель, преодоление гравитации и пр.
Свернуть Точные науки и дисциплины
Дебаты по Теории Относительности Эйнштейна. Все кому не лень хотят опровергнуть Теорию Относительности Эйнштейна. Вам предоставляется слово для аргументации.
Физика, астрономия, математические решения. Физико-математические вопросы, наблюдения, исследования, теории и их решение.
Физика альтернативная. Новые взгляды на физические законы, теории, эксперименты, не вписывающиеся в общепринятые законы физики.
Teхника, узлы, механизмы, электроника и аппаратура. Все про технику, приборы, детали, узлы и механизмы. Электроника, компьютеры, программное обеспечение. Новые технические решения в самых разных областях.
Биология, Генетика, Все о жизни. Генетика и другие вопросы биологии. Их развитие. Медицина. Биотехнологии, агротехника и сельское хозяйство. Эволюционные теории и альтернативные им.
Химия. Вопросы по химическим технологиям, разработкам и применению химических материалов. Химические элементы и их свойства.
Геология, все о Земле и ее обитателях. Геология, метеорология, антропология, сейсмология, атмосферные явления и непознанные эффекты природы.
Свернуть Мозговой штурм
Генератор решений. Здесь Вы можете заработать реальные деньги, помогая решать фирмам, предприятиям и частным лицам те или иные технические задачи, которые перед ними стоят. Те, кто ставят задачи перед участниками должны обозначить гонорар за ее решение и перевести указанную сумму на общий счет генератора.
Головоломки. Если у Вас есть желание поломать голову над интересными логическими задачами - Вам сюда.
Гипотезы. В этой теме идет обсуждение гипотез и предположений, основанных чисто на теории и логике.
Найди ляп! Этот раздел для тех, кто хочет мысленно расслабиться. Он посвящен задачам по поискам ляпов, которые встречаются в литературе, интернете, кино и на телевидении.
Свернуть Взгляд в будущее и настоящее
Глобальные темы. Вопросы касающиеся всех. Глобальные угрозы и злободневные темы современности.
Наука и ее развитие. Все о развитии науки, направлениях и перспективах движения научной мысли и знаний.
Новая Цивилизация. Принципы социального устройства новой цивилизации. Увеличение роли созидательного интеллекта... Отдалённые перспективы развития человечества...
Вопросы без ответов. Этот раздел посвящен вопросам и проблемам, которые до сих пор не решены. Предлагайте свои решения.
Военная стратегия и тактика современных боевых действий. Об особенностях современного военного искусства. Проблемные вопросы теории и практики подготовки вооруженных сил к войне, её планирование и ведение в различных конфликтах на планете.
Свернуть Гуманитарные науки и дисциплины
Философские дискуссии. Диспуты по вопросам жизни, сознания, бытия и иных философских понятий.
Экономика. Вопросы по экономике и о путях развития России и других стран.
Социология, Политология, Психология. В этом разделе обсуждаются вопросы, как отдельных частных исследований данных наук, так и проблема соотношения этих наук с остальными.
Образование. Все об образовании: как учить, кому учить, чему учить и кого учить.
Религия и атеизм. Вопросы религий и атеистические взгляды, религиозные споры.

Хотите разместить свою статью или публикацию, чтобы ее читали все?
Как это сделать - узнайте здесь.

Назад

 
О проекте Контакты Архив старого сайта

Copyright © SciTecLibrary © 2000-2017

Агентство научно-технической информации Научно-техническая библиотека SciTecLibrary. Свид. ФС77-20137 от 23.11.2004.