СТАТЬИ И ПУБЛИКАЦИИ

Вход или Регистрация

ПОМОЩЬ В ПАТЕНТОВАНИИ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФОРУМ Научно-техническая библиотекаНаучно-техническая библиотека SciTecLibrary
 
Cтатьи и Публикации К ВОПРОСУ О НАХОЖДЕНИИ НАИХУДШЕГО ВНЕШНЕГО ВОЗДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

К ВОПРОСУ О НАХОЖДЕНИИ НАИХУДШЕГО ВНЕШНЕГО ВОЗДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

© Абакумов А.В.

Информация для контакта: afrit@online.ru

В статье рассмотрен вопрос о нахождении наихуждшего внешнего воздействия для системы уравнений является достаточно сложным и на данный момент полностью не решенным. В данной статье рассматривается этот вопрос применительно к линейным системам. Процесс нахождения наихудшего внешнего воздействия для линейной системы легко можно распространить на нелинейные системы.

Данная статья является первой в серии публикаций на указанную тематику. 

  1. Постановка задачи
  2. Дана система линейных нестационарных уравнений в форме Коши, которая может быть записана в виде:

    (1.1)

    или

    (1.2)

    где Х – вектор переменных состояния (), А(t) – квадратная матрица (), элементы которой, в общем случае, функции времени, U(t) – внешнее возмущение (), В(t) – матрица модификации внешнего возмущения (), элементы м.б. функциями времени, f(t) – вектор внешних воздействий (). Далее, без потери общности, будем рассматривать систему (1.2).

  3. КРИТЕРИЙ БУЛГАКОВА Б. В.
  4. 1946 году Б.В. Булгаковым, применительно к асимптотически устойчивым линейным стационарным системам, подверженным внешним воздействиям f(t) [1], [2]

    (2.1)

    была введена в рассмотрение кривая накопления отклонений.

     

    Пусть внешние воздействия подчинены неравенству

    (2.2)

    где а – вектор заданных положительных чисел.

    Будем называть внешние воздействия из (2.2) наихудшими, если при них имеют место максимальные отклонения от нулевого состояния вынужденной составляющей переходных процессов. При этом кривая переходных процессов, обусловленных наихудшими внешними воздействиями, называется кривой накопления отклонений.

    Б.В. Булгаков ограничивал внешние воздействия некоторыми константами. Однако можно привести 2 вида ограничений на внешнее воздействие:

    А. Стационарное ограничение [1] e 1£ f(t)£ e 2, в случае, если e 2>0, –e 1=e 2, то ограничение можно представить в виде ½ f(t)½ £ e .

    Б. Нестационарное ограничение e 1(t)£ f(t)£ e 2(t), в случае, если e 2(t)>0, –e 1(t)=e 2(t), то ограничение можно представить в виде ½ f(t)½ £ e (t).

    Оба вида ограничений приведены для полного интервала изменения времени t.

    Система (1.1)/(1.2), в дальнейшем будем рассматривать систему (1.2), предствалена в форме Коши, что разбить ее на n уравнений вида [3]:

    (2.3)

    В случаке, когда все aij(t) стационарны во времени (константы) то наихудшим внешним воздействием следует принять

    Для воздействия вида А

    ,

    Для воздействия вида Б

    ,

    Выбор знака осуществляется согласно коэффициентам aij(t) . Рассмотрим пример.

  5. Показательный пример
  6. Пусть дана система

    (3.1)

    Построим гарфик переходного процесса при f(t)=1(t).

    Рис.1. Переходный процесс для системы (3.1).

    Если принять пределы изменения внешнего воздействия как [–1,1], то можно сказать, что на интервале [0,p ] на систему (3.1) было оказано наихудшее внешнее воздействие. Однако далее система вернулась в начальное состояние и мы имеем периодичечские колебания. Теперь с момента времени p будем подавать на вход системы воздействие –1(t).

     

    Рис.2. Рис.3.

    На рис.2. представлен график поведения системы (3.1) при внешнем воздействии 1, а на рис.3. при внешнем воздействии –1, поданном с момента времени p . Мы имеем 2 варианта переходного процесса в системе (3.1), сравним их:

    А. Качественный вид графиков одинаков.

    Б. Время переходного процесса одинаково.

    В. интервал изменения значения переменной состояния увеличился во втором случае в 3 раза (было 2 – 0, стало 2 – -4).

    Ясно видно, что с момента времени p наихудшим внешним воздействием стало воздействие –1. Но если оставить и далее воздействие –1, что мы получим, а получим мы периодический колебательный процесс в интервале [–2,0].

    Приведем далее определение.

    Определение 1.

    Внешнее воздействие в нестационарной линейной системе является наихудшим тогда и только тогда, когда оно приводит к увеличению или не уменьшению вынужденной составляющей переходного процесса.

    Дополнение к определению 1.

    В колебательном переходном процессе наихудшим внешним воздействием можно считать такое воздействие, которое, при переходе от одного экстремума к другому (от максимума к минимуму или наоборот), сопровождается временным уменьшением вынужденной составляющей переходного процесса. При этом достигаемый экстремум максимально возможным отклонением.

  7. Основные определения

Рассмотрим, как коэффициенты aij(t) могут влиять на поведение дифференциального уравнения (2.3). Для простоты, и без потери общности, примем внешнее воздействие вида А.

  1. Коэффициенты aij(t) имеют один знак, не меняют его на всем интервале определения наихудшего внешнего воздействия (далее НхВВ). В данном случае НхВВ имеет вид
  2. f(t)=± e

    где знак при e совпадает со знаком коэффициентов aij(t).

  3. Часть коэффициентов aij(t) имеют один знак, не меняют его на всем интервале определения НхВВ и сумма произведений aij(t)*xj больше суммы произведений aij(t)*xj также на всем интервале определения НхВВ. В данном случае НхВВ имеет вид
  4. f(t)=± e

    где знак при e совпадает со знаком коэффициентов aij(t) .

    Определение 2.

    Коэффициенты aij(t) называются силовыми, если они на некотором промежутке имеют один знак и произведение aij(t)*xj больше произведения aij(t)*xj . Остальные коэффициенты aij(t) называются корректирующими.

  5. Силовые коэффициенты меняют свой знак, либо состав силовых коэффициентов изменяется в моменты времени tk. В данном случае НхВВ имеет вид
  6. f(t)=± e

    где знак при e совпадает со знаком силовых коэффициентов коэффициентов и меняется при изменении знака силовых коэффициентов.

  7. Не представляется возможным выделить в уравнении (2.3) группу силовых коэффициентов, следовательно нет возможности и выявить характер поведения переменных состояния системы (1.2). В данном случае НхВВ необходимо определять в каждый момент времени. При численном моделировании НхВВ определяется для каждого дискретного момента времени.
  8. Определение 3.

    Численное нахождение НхВВ для заданной системы (1.2) будет называться моментальным, если оно определяется на каждом шаге решения системы дифференциальных уравнений, без учета предидущих шагов решения. Численное нахождение НхВВ будет называться глубоким, если для определения значения внешнего воздействия учитываются все предидущие шаги.

  9. БАЗОВЫЕ АЛГОРИТМЫ ЧИСЛЕННОГО НАХОЖДЕНИЯ НАИХУДШЕГО ВНЕШНЕГО ВОЗДЕЙСТВИЯ

В процессе численного нахождения НхВВ применяются 2 алгоритма [3], [4].

АЛГ1. "Моментальный" алгоритм.

На каждом шаге решения системы (1.2) определяется такое внешнее воздействие, чтобы результат вычислений максимально соответствовал определению 1. Пределы изменения внешнего воздействия могут быть предствлены как в виде А так и в виде Б.

АЛГ2. "Глубокий" алгоритм.

Осуществляется просчет всех вариантов внешнего воздействия (с ограничениями А, Б) на всем интервале вычислений. Оптимальным принимается тот вариант внешнего воздействия (внешнее воздействие является нестационарным, а следовательно на каждом шаге может принимать новые значения), который соответствует максимальному значению вынужденной составляющей переходного процесса.

Критерием оптимальности может служить как отклонение вынужденной составляющей в конце изучаемого периода, так и квадратическое отклонение по всему периоду.

Пояснение 1.

Сложность алгоритмов значительно отличается. Для алгоритма А1 сложность определяется так:

N*n*2 вычисляемых дифференциальных уравнений

где N – число шагов решения, n – число уравнений в системе, 2 – число вариантов внешнего воздействия (e и +e ).

Для алгоритма А2 сложность определяется так:

(N*n^2)^2 = N^2*n^4 вычисляемых дифференциальных уравнений

где N – число шагов решения, n – число уравнений в системе, 2 – число вариантов внешнего воздействия (e и +e ).

Пояснение 2.

Методы математических вычислений, применяемые в алгоритмах АЛГ1 и АЛГ2 следующие.

АЛГ1. Наиболее оптимальным является метод Рунге-Кутта 2ого порядка, т.к. он сочитает достаточную точность и простоту (также подходит и базовый метод Эйлера).

АЛГ2. В данном алгоритме необходимое сочитание точности и быстроты нахождения оптимального решения находится применением методов Рунге-Кутта 2ого или 4ого порядков и принципа линейного программирования.

Заключение

Существующие методы математического моделирования переходных процессов математически описанных систем позволяют найти НХВВ для практически любых систем. Однако объем вычислений приводит нас к ситуации, когда для относительно сложных систем длительность вычислений на современных ЭВМ может длиться сотни часов, а то и дней. К примеру программа в среде Matlab 6.0 осуществляет поиск НХВВ системы уравнений 2ого порядка на интервале 10 секунд с точностью вычислений 10-6 и автоматическим выбором метода вычислений по “моментальному” алгоритму более 2х часов, а по “глубокому” алгоритму – более 3х суток.

Основным направлением в нахождении НХВВ представляется задача определения наиболее оптимального, с точки зрения быстроты и точности, “глубокого” алгоритма (АЛГ2).

Список литературы

  1. Булгаков Б.В. Прикладная теория гироскопов. Изд.1. М.: Гостехиздат,1939.С.258; Изд.2. -М.:Гостехиздат, 1955. Изд.3. М.: Изд-во МГУ, 1976.
  2. Булгаков Б.В. О накоплении возмущений в линейных колебательных системах с постоянными параметрами. М.: ДАН СССР, т.51, N 5, 1946.
  3. Солодовников В.В., Семенов В.В., Пешель М., Недо Д. Расчет систем управления на ЦВМ. М.: Машиностроение, 1979.
  4. Справочник по теории автоматического управления. Под ред. Красовского А.А. М.: Наука, 1987.
Дата публикации: 16 апреля 2002
Источник: SciTecLibrary.ru

Вы можете оставить свой комментарий по этой статье или прочитать мнения других в следующих разделах ФОРУМА:
Свернуть Защита интеллектуальной собственности и авторских прав
Диспуты по темам изобретательства. Вопросы по изобретениям, проблемы на пути изобретателей и методы их решения.
Патентование. Все о патентовании изобретений, полезных моделей, промышленных образцов и товарных знаков.
Нерешенные задачи. Здесь идет обсуждение нерешенных задач: безопорный двигатель, вечный двигатель, преодоление гравитации и пр.
Свернуть Точные науки и дисциплины
Дебаты по Теории Относительности Эйнштейна. Все кому не лень хотят опровергнуть Теорию Относительности Эйнштейна. Вам предоставляется слово для аргументации.
Физика, астрономия, математические решения. Физико-математические вопросы, наблюдения, исследования, теории и их решение.
Физика альтернативная. Новые взгляды на физические законы, теории, эксперименты, не вписывающиеся в общепринятые законы физики.
Teхника, узлы, механизмы, электроника и аппаратура. Все про технику, приборы, детали, узлы и механизмы. Электроника, компьютеры, программное обеспечение. Новые технические решения в самых разных областях.
Биология, Генетика, Все о жизни. Генетика и другие вопросы биологии. Их развитие. Медицина. Биотехнологии, агротехника и сельское хозяйство. Эволюционные теории и альтернативные им.
Химия. Вопросы по химическим технологиям, разработкам и применению химических материалов. Химические элементы и их свойства.
Геология, все о Земле и ее обитателях. Геология, метеорология, антропология, сейсмология, атмосферные явления и непознанные эффекты природы.
Свернуть Мозговой штурм
Генератор решений. Здесь Вы можете заработать реальные деньги, помогая решать фирмам, предприятиям и частным лицам те или иные технические задачи, которые перед ними стоят. Те, кто ставят задачи перед участниками должны обозначить гонорар за ее решение и перевести указанную сумму на общий счет генератора.
Головоломки. Если у Вас есть желание поломать голову над интересными логическими задачами - Вам сюда.
Гипотезы. В этой теме идет обсуждение гипотез и предположений, основанных чисто на теории и логике.
Найди ляп! Этот раздел для тех, кто хочет мысленно расслабиться. Он посвящен задачам по поискам ляпов, которые встречаются в литературе, интернете, кино и на телевидении.
Свернуть Взгляд в будущее и настоящее
Глобальные темы. Вопросы касающиеся всех. Глобальные угрозы и злободневные темы современности.
Наука и ее развитие. Все о развитии науки, направлениях и перспективах движения научной мысли и знаний.
Новая Цивилизация. Принципы социального устройства новой цивилизации. Увеличение роли созидательного интеллекта... Отдалённые перспективы развития человечества...
Вопросы без ответов. Этот раздел посвящен вопросам и проблемам, которые до сих пор не решены. Предлагайте свои решения.
Военная стратегия и тактика современных боевых действий. Об особенностях современного военного искусства. Проблемные вопросы теории и практики подготовки вооруженных сил к войне, её планирование и ведение в различных конфликтах на планете.
Свернуть Гуманитарные науки и дисциплины
Философские дискуссии. Диспуты по вопросам жизни, сознания, бытия и иных философских понятий.
Экономика. Вопросы по экономике и о путях развития России и других стран.
Социология, Политология, Психология. В этом разделе обсуждаются вопросы, как отдельных частных исследований данных наук, так и проблема соотношения этих наук с остальными.
Образование. Все об образовании: как учить, кому учить, чему учить и кого учить.
Религия и атеизм. Вопросы религий и атеистические взгляды, религиозные споры.

Хотите разместить свою статью или публикацию, чтобы ее читали все?
Как это сделать - узнайте здесь.

Назад

 
О проекте Контакты Архив старого сайта

Copyright © SciTecLibrary © 2000-2017

Агентство научно-технической информации Научно-техническая библиотека SciTecLibrary. Свид. ФС77-20137 от 23.11.2004.