СТАТЬИ И ПУБЛИКАЦИИ

Вход или Регистрация

ПОМОЩЬ В ПАТЕНТОВАНИИ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФОРУМ Научно-техническая библиотекаНаучно-техническая библиотека SciTecLibrary
 
Cтатьи и Публикации    Все о человеке    Человеческий быт НЕКОРРЕКТНОСТИ В ЗАДАНИЯХ ПО МАТЕМАТИКЕ ЦЕНТРАЛИЗОВАННОГО ШКОЛЬНОГО ТЕСТИРОВАНИЯ

НЕКОРРЕКТНОСТИ В ЗАДАНИЯХ ПО МАТЕМАТИКЕ ЦЕНТРАЛИЗОВАННОГО ШКОЛЬНОГО ТЕСТИРОВАНИЯ

© Локтев В.И., доцент, к.т.н.

при содействии: уч. 11 кл. Богдалова А.Р., уч. 11 кл. Петрова З.Н.

Контакт: vilokt@rambler.ru

Вот уже несколько лет 1 апреля российским школьникам, выпускникам 11 класса не до смеха. В этот день начинается централизованное тестирование по всем предметам. Его результаты засчитываются как выпускные школьные экзамены и как вступительные экзамены в вуз.

Любые неточности (некорректности) в постановке тестовых заданий часто приводят к неоднозначным решениям, заводят автора решения в тупик. В особо сложном положении находятся школьники, когда во время централизованного тестирования обнаруживают в заданиях разного рода неточности, вдруг не находят среди предлагаемых ответов правильного. Все это, в конечном итоге, приводит к мыслям о необъективности оценки знаний с помощью тестов, о том, что некорректности, возможно, сознательно задуманы создателями тестов. При этом существо дела, суть некорректностей, глубина постановки задачи, тонкости различных вариантов решения отодвигаются на задний план.

Покажем, к чему могут привести некорректности в заданиях по математике централизованного школьного тестирования последних лет? Большинство примеров взяты из сборников Центра тестирования выпускников общеобразовательных учреждений Российской Федерации (Математика. Тесты 11 класс. Варианты и ответы централизованного тестирования – М.: Прометей, 2000; М.: Центр тестирования МО РФ, 2001).

Пример 1 (2001 год, вариант № 1, задание Б7). Найдите сумму координат точки с положительной абсциссой, касательная в которой к графику функции проходит через начало координат.

С точки зрения грамматики русского языка фраза построена неверно. Придаточное предложение "..., касательная в которой..." должно относиться не к слову "абсциссой", стоящему перед придаточным предложением, а к слову "точки", стоящему задолго до придаточного предложения.

Это - тупик. Даже для вполне подготовленного школьника время тратится на осмысление того, что написано, а написано неграмотно. Дрожь в коленках, сумбур в голове. "Может, я чего-то не понимаю? Ведь речь идет о какой-то касательной в абсциссе. Бред!!!"

Таких нелепостей в постановке тестовых заданий быть не должно. А они есть и в вариантах № 5, № 9. Вот наша трактовка задания:

Через начало координат проходит касательная к графику функции . Найдите сумму координат точки касания, абсцисса которой положительна.

Пример 2 (2000 год, вариант № 7, задание 10А). Результат вычисления выражения равен

Первое, что приходит в голову, как это требует задание - взять калькулятор и вычислить заданное выражение. Получается , это ответ . Правильным ответом в сборнике тестов приводится другой ответ: . А что дает решение в среде "Mathcad" (ниже все компьютерные решения выделены фоном и рамкой)? Тоже два варианта ответа:

Нетрудно заметить, что между этими двумя значениями углов (108° и -72°) разность составляет ровно 180°, или p (3,14159) радиан. Действительно, в пределах единичной окружности (рис. 1) имеются два угла, котангенс которых равен -1/3. Оба ответа могут быть признаны правильными. Видимо, это послужило поводом к тому, чтобы в подобных заданиях (А9) тестов 2001 года все варианты ответов имели одинаковые знаки. "Ура!!! Одной проблемой у школьников, абитуриентов стало меньше".

Но, наряду с этим, в одном из региональных центров на Юге России на репетиционном мартовском тестировании 2002 года в части Б) предложено такое задание без вариантов ответов.

Пример 3 (2002 год, вариант № 00/02, задание Б9). Значение выражения равно

Вот правильное решение: .

Но, в соответствии с инструкцией, в части Б) ответом может быть только слово или целое число. Значит, правильный ответ в этом задании - 0. Опять школьник в недоумении "Почему при таком правильном результате "0,20412415" я должен в ответе записать "0"?

Это – явный “ляп”, допущенный разработчиками теста. Исправить его просто – перенести задание из части Б) в часть А) теста с вариантами ответов, среди которых будет правильный ответ. Но как быть школьнику при выполнении такого задания?

Пример 4 (2001 год, вариант № 1, задание А4). Произведение корней уравнения равно

Предполагается, что “средне подготовленный” школьник будет решать это уравнение так. Замена приводит к квадратному уравнению , его решения . Возвращаясь к замене, получаем одно уравнение , второе уравнение . У первого уравнения корни , дискриминант второго уравнения , - корней нет, произведение корней , номер правильного ответа 2).

А вот решение “отлично подготовленного” школьника. Он знает обобщенную теорему Виета: всякое алгебраическое уравнение n-й степени имеет n корней, при этом сумма корней уравнения равна , а произведение равно (см., например, стр. 170-171 издания: Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. СПб.: Союз, 1997, - 336 с.). В заданном уравнении четвертой степени n = 4 свободный коэффициент , произведение корней равно . Это абсолютно верный ответ, вот компьютерное решение этого задания:

Но среди предложенных вариантов такого ответа нет!!! В чем же дело? Оказывается, что даже “средне подготовленный” школьник мог прийти к абсолютно верному ответу, если бы не проигнорировал корнями второго уравнения . Его корни являются комплексными: . Даже не выражая комплексные корни через мнимую единицу , их произведение можно найти алгебраически , окончательный ответ .

Все дело в том, что авторы задания, скорее всего, имели в виду найти произведение не всех, а только “действительных корней уравнения”, но этого уточнения в тексте задания нет. Жаль, что подобные некорректности повторяются в пробных тестах по математике и в текущем году.

Некоторые задания по геометрии, по векторной алгебре также содержат погрешности, так называемые “лишние” или избыточные данные.

Пример 5 (2001 год, вариант № 1, задание Б8). Сколько точек (x, y) с целыми координатами x, y лежат внутри прямоугольника с вершинами А(1,5;1,5), В(1,5;5,5), С(5,5;5,5), D(5,5;1,5)?

Проще всего эту задачу решить графически (рис 2). Точек с целыми координатами x, y внутри прямоугольника ABCD насчитывается 16. Это правильный ответ. Но возникает вопрос – а зачем для задания прямоугольника в координатной плоскости даны координаты всех четырех вершин – A, B, C и D? Чтобы задать прямоугольник в плоскости, достаточно задать координаты любых двух точек – допустим, А(1,5;1,5) и В(1,5;5,5), а также, например, координату x = 5,5 точки D. Таким образом, из восьми заданных координат точек три координаты оказались ненужными. Хорошо, что эти “лишние” данные не вошли в противоречие с постановкой задачи. А ведь именно так случается, когда в заданиях появляются избыточные данные.

Пример 6 (2000 год, вариант № 6, задание 13А). Если в четырехугольнике ABCD заданы , а векторы и - его диагонали, то модуль скалярного произведения векторов и равен

Изобразим заданные векторы и сплошными, векторы и - штриховыми линиями (рис. 3).

“Что же это за четырехугольник ABCD - может быть, квадрат, прямоугольник или ромб, равнобочная трапеция? Время есть, посмотрим”, - думает школьник и рассуждает так: , значит , . А теперь найдем углы в этом четырехугольнике. Для надежности результатов используем компьютерные расчеты.

Сумма углов в четырехугольнике оказалась равной A + B + C + D = 348°. Такой шок пережить нормальному школьнику сложно. Он знает, что сумма внутренних углов в выпуклом четырехугольнике равна не 348°, а 360°. Может быть, четырехугольник не выпуклый?

“КАКАЯ ЗАКОВЫКА ЗАКУМЕКАНА МАТЕМАКИТАМИ?” (Еn, USA)

“ОЙ, ЧТО ЖЕ Я ТАКОЙ ГЛУПЕНЬКИЙ?” (Ru, Rus)

Нет, суть в другом. Два из трех заданных векторов и образуют в пространстве плоскость АВС (на рис. 4 заштрихована). Третий из заданных векторов не лежит в этой плоскости, - заданные векторы некомпланарны. Действительно, условием компланарности трех векторов является равенство нулю определителя третьего порядка, строки которого представляют координаты векторов. В данном случае определитель не равен нулю:

заданные векторы и не лежат в одной плоскости. Четырехугольник ABCD оказался “сломанным” по линии AC. Диагонали AC и BD, оказывается, не пересекаются, а являются скрещивающимися прямыми. Формально правильное решение в этой задаче найти можно, но авторам тестов всегда надо учитывать иные возможные ходы решения. В любом случае они не должны ставить достаточно подготовленных школьников в затруднительное или безвыходное положение.

Что год текущий нам готовит? Дожили до понедельника (1 апреля), доживем до субботы и посмотрим: 6 апреля – день централизованного тестирования российских школьников по математике.

Дата публикации: 2 апреля 2002
Источник: SciTecLibrary.ru

Вы можете оставить свой комментарий по этой статье или прочитать мнения других в следующих разделах ФОРУМА:
Свернуть Защита интеллектуальной собственности и авторских прав
Диспуты по темам изобретательства. Вопросы по изобретениям, проблемы на пути изобретателей и методы их решения.
Патентование. Все о патентовании изобретений, полезных моделей, промышленных образцов и товарных знаков.
Нерешенные задачи. Здесь идет обсуждение нерешенных задач: безопорный двигатель, вечный двигатель, преодоление гравитации и пр.
Свернуть Точные науки и дисциплины
Дебаты по Теории Относительности Эйнштейна. Все кому не лень хотят опровергнуть Теорию Относительности Эйнштейна. Вам предоставляется слово для аргументации.
Физика, астрономия, математические решения. Физико-математические вопросы, наблюдения, исследования, теории и их решение.
Физика альтернативная. Новые взгляды на физические законы, теории, эксперименты, не вписывающиеся в общепринятые законы физики.
Teхника, узлы, механизмы, электроника и аппаратура. Все про технику, приборы, детали, узлы и механизмы. Электроника, компьютеры, программное обеспечение. Новые технические решения в самых разных областях.
Биология, Генетика, Все о жизни. Генетика и другие вопросы биологии. Их развитие. Медицина. Биотехнологии, агротехника и сельское хозяйство. Эволюционные теории и альтернативные им.
Химия. Вопросы по химическим технологиям, разработкам и применению химических материалов. Химические элементы и их свойства.
Геология, все о Земле и ее обитателях. Геология, метеорология, антропология, сейсмология, атмосферные явления и непознанные эффекты природы.
Свернуть Мозговой штурм
Генератор решений. Здесь Вы можете заработать реальные деньги, помогая решать фирмам, предприятиям и частным лицам те или иные технические задачи, которые перед ними стоят. Те, кто ставят задачи перед участниками должны обозначить гонорар за ее решение и перевести указанную сумму на общий счет генератора.
Головоломки. Если у Вас есть желание поломать голову над интересными логическими задачами - Вам сюда.
Гипотезы. В этой теме идет обсуждение гипотез и предположений, основанных чисто на теории и логике.
Найди ляп! Этот раздел для тех, кто хочет мысленно расслабиться. Он посвящен задачам по поискам ляпов, которые встречаются в литературе, интернете, кино и на телевидении.
Свернуть Взгляд в будущее и настоящее
Глобальные темы. Вопросы касающиеся всех. Глобальные угрозы и злободневные темы современности.
Наука и ее развитие. Все о развитии науки, направлениях и перспективах движения научной мысли и знаний.
Новая Цивилизация. Принципы социального устройства новой цивилизации. Увеличение роли созидательного интеллекта... Отдалённые перспективы развития человечества...
Вопросы без ответов. Этот раздел посвящен вопросам и проблемам, которые до сих пор не решены. Предлагайте свои решения.
Военная стратегия и тактика современных боевых действий. Об особенностях современного военного искусства. Проблемные вопросы теории и практики подготовки вооруженных сил к войне, её планирование и ведение в различных конфликтах на планете.
Свернуть Гуманитарные науки и дисциплины
Философские дискуссии. Диспуты по вопросам жизни, сознания, бытия и иных философских понятий.
Экономика. Вопросы по экономике и о путях развития России и других стран.
Социология, Политология, Психология. В этом разделе обсуждаются вопросы, как отдельных частных исследований данных наук, так и проблема соотношения этих наук с остальными.
Образование. Все об образовании: как учить, кому учить, чему учить и кого учить.
Религия и атеизм. Вопросы религий и атеистические взгляды, религиозные споры.

Хотите разместить свою статью или публикацию, чтобы ее читали все?
Как это сделать - узнайте здесь.

Назад

 
О проекте Контакты Архив старого сайта

Copyright © SciTecLibrary © 2000-2017

Агентство научно-технической информации Научно-техническая библиотека SciTecLibrary. Свид. ФС77-20137 от 23.11.2004.